6.2.3 向量的数乘运算 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

人教版必修第二册A版 学 校：昆明长鸿实验中学 讲 师：许 鸥 日 期：2024年3月1日-3月2日（第2周） 6.2.3《 向量的数乘运算 》 （ 2 课 时 ） 教学目标 学习目标：1.认识与理解向量数乘的概念及其几何意义；（数学抽象） 2.理解与掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算；（数学运算） 3.理解与掌握向量共线定理及其推论，并能熟练地运用其来求解有关向量共线的问题.（逻辑推理） 教学重点：向量数乘的概念、运算律，以及向量共线定理及其推论 教学难点：向量的数乘运算，向量共线定理、推论及其实际应用. 一 情景问题（导学） 如图，一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为 ，那么它向东运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是 吗？ 相信各位同学通过今天的学习，将能回答以上情景中的问题. 二 探究新知1——向量的数乘运算（互学） （一）问题 如图，已知非零向量 ，作出 和 .它们的长度和方向分别是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？ （二）探究1 如图，分别作 , 据向量加法的三角形法则可知 类比数的乘法，我们把 ，即 = 有图可知： 的方向 与 的方向相同 的长度 是 的长度的3倍，即 二 探究新知1——向量的数乘运算（互学） （三）探究2 如图，分别作 , 据向量加法的三角形法则可知 我们把 ，即 = 有图可知： 的方向 与 的方向相反 的长度 是 的长度的3倍，即 二 探究新知1——向量的数乘运算（互学） （四）向量的数乘运算 1.定义 一般地，我们规定实数 与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度与方向规定如下： （1） 的长度为： （2） 的方向为： ①当时， 的方向与的方向相同； ②当 时， 的方向与的方向相反； ③当 时，＝. 温馨提示　(1)向量的数乘 仍是一个向量； (2)实数 与向量 不能相加减. 温馨提示 　(1)向量的数乘 仍是一个向量； (2)实数 与向量 不能相加减. 二 探究新知1——向量的数乘运算（互学） （四）向量的数乘运算 2.运算律 根据向量数乘的定义可以得到如下的运算律 设 为实数，那么 （1）； （2） （3） 特别地，我们有 3.线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 对于任意向量 与 ，以及任意实数 ，恒有 三 小组合作、讨论交流1(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 方法提示：这两道题考察了向量的线性运算. 例5 计算： （1）; （2）; （3） 例6 如图,平行四边形的两条对角线相交于点，且,用 表示,和. 四 成果展示1(迁移变通) 例5 计算： （1）; （2）; （3） 解（1）原式 = 解（2）原式 = 解（3）原式 = 四 成果展示1(迁移变通) 例6 如图,平行四边形的两条对角线相交于点，且,用 表示,和. 解: ∵在平行四边形中, ∴由平行四边形的两条对角线互相平分可得 五 （一）问题1 如果 ，那么向量 是否共线？反过来，若向量 与非零向量共线，那么是否存在一个实数，使得 ? （二）探究1 由向量数乘的定义可知： 1.如果 ，那么向量 共线. 2.反过来，若向量 与非零向量共线，那么必然存在一个实数，使得 探究新知2——向量共线定理及其推论（互学） 五 探究新知2——向量共线定理及其推论（互学） （三）向量共线定理 向量与 共线（ 即 ）的充要条件是：存在唯一一个实数，使得 向量与 共线（ 即 ） 等价于 存在唯一一个实数，使得 五 （四）问题2 若，且，那么三点共线吗？ （五）探究2 ∵ ，且 ∴ 即 ∴ ∴ ∴由向量共线定理可知：与共线 故三点共线 探究新知2——向量共线定理及其推论（互学） 五 （六）向量共线定理的推论 在平面中三点共线的充要条件是：(O为平面内直线AB外任意一点)，其中. 探究新知2——向量共线定理及其推论（互学） 在平面中三点共线 等价于 (O为平面内直线AB外任意一