基础夯实练83：概率与统计中的综合问题——2025届高三数学一轮复习

基础夯实练83 概率与统计中的综合问题 1.2023年5月10日长征七号火箭剑指苍穹,搭载天舟六号货运飞船为中国空间站运送补给物资,为中国空间站的航天员们长时间探索宇宙奥秘提供强有力的后援支持.某校部分学生十分关注中国空间站的发展,若将累计关注中国空间站发展的消息达到6次及以上者称为“航天达人”,未达到6次者称为“非航天达人”.现从该校随机抽取50人进行分析,得到数据如表所示: 性别 航天达人 非航天达人 合计 男 20 26 女 14 合计 (1)补全2×2列联表,根据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为航天达人与性别有关联? (2)现从抽取的航天达人中,按性别采用分层随机抽样的方法抽取6人,然后从这6人中随机抽取3人,记这3人中女航天达人的人数为X,求X的分布列和均值. 附:χ2=. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 2.(2024·海南海口模拟)某市某中学一研究性学习小组为了解该市市民每年旅游支出费用(单位:千元),寒假期间对游览某签约景区的100名该市游客进行随机问卷调查,并把数据整理成如下表所示的频数分布表: 支出 费用 [0, 2) [2, 4) [4, 6) [6, 8) [8, 10) [10, 12) [12, 14) [14, 16] 频数 3 4 8 11 41 20 8 5 (1)从样本中随机抽取两位市民的旅游支出费用的数据,求两人旅游支出均低于6 000元的概率; (2)若该市民的旅游支出费用X近似服从正态分布N(μ,σ2),μ近似为样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中间值代表),σ近似为样本标准差s,并已求得s≈3,利用所得正态分布模型解决以下问题: (ⅰ)假定该市常住人口为300万人,试估计该市有多少市民每年旅游费用支出在15 000元以上; (ⅱ)若在该市随机抽取3位市民,设其中旅游费用在9 000元以上的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和均值. 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 3.(2024·广东茂名模拟)某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测.若每件产品的生产成本为1 200元,每件一级品可卖1 700元,每件二级品可卖1 000元,三级品禁止出厂且销毁.某日抽取的100件产品检测的结果的柱状图如图所示. (1)根据样本估计总体的思想,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从生产的所有产品中随机取出2件,求至少有一件产品是一级品的概率; (2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品,再从这10件中任意抽取3件,设取到二级品的件数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望; (3)已知该生产线原先的年产量为80万件,为提高企业利润,计划明年对该生产线进行升级,预计升级需一次性投入2 000万元,升级后该生产线年产量降为70万件,但产品质量显著提升,不会再有三级品,且一级品与二级品的产量比会提高到8∶2,若以该生产线今年利润与明年预计利润为决策依据,请判断该次升级是否合理. 4.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办. (1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关,某学校随机抽取了男生和女生各100名进行调查,得到2×2列联表如下: 性别 喜爱篮球 不喜爱篮球 合计 男生 65 35 100 女生 25 75 100 合计 90 110 200 依据小概率值α=0.001的独立性检验,能否认为喜爱篮球运动与性别有关? (2)校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练,第1次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人,如此不停地传下去,且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者,第n次触球者是甲的概率记为Pn,即P1=1. ①求P3,P4,并证明:为等比数列; ②比较第15次触球者是甲与第15次触球者是乙的概率的大小. 参考公式:χ2=,其中n=a+b+c+d. 参考数据: α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 5.某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”,为了确定未来发展方向,此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天,这五家“农家乐”的收费标准互不相同,得到的统计数据如下表,x为收费标准(单位