空间几何体中路径最短问题专题训练-2024届高三数学一轮复习

空间几何体中路径最短问题 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在三棱锥中，，点是棱上一动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．正方体的棱长为2，是棱上的一个动点（含端点），则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 4．如图，在直三棱柱中，，，，分别为棱，上的动点，当最小时，（    ） A． B． C． D． 5．如图，某圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，P，Q分别为线段BC，AC上的两个动点，E为上一点，且，则的最小值为（    ）    A．3 B． C． D． 6．如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（    ）    A． B． C． D． 7．如图，是正三棱锥且侧棱长为，两侧棱的夹角为分别是上的动点，则三角形的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 8．如图在一根长11，外圆周长6的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为（    ）    A．61 B． C． D． 9．在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得其母线长为，屋顶的表面积为即圆锥的侧面积若从该屋顶底面圆周一点绕屋顶侧面一周至过的母线的中点，安装灯光带，则该灯光带的最短长度为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，在长方体中，，一小虫从顶点出发沿长方体的表面爬到顶点，则小虫走过的最短路线的长为 . 11．如图，在边长为的正方体中，已知是的中点，点分别在上，则周长的最小值为 ． 12．已知棱长为的正方体中，为棱上一动点，则的最小值为 . 13．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，昆虫爬行的最短路程是 . 三、解答题 14．（1）画出如图所示的几何体的平面展开图（画出其中一种即可）；    （2）如图，在长方体中，，，，一只蚂蚁从点出发沿表面爬行到点，求蚂蚁爬行的最短路线长.    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】设的中点为，即可证明，从而得到，再将平面与平面展开并摊平，在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值，利用余弦定理计算可得. 【详解】    设的中点为，连接（不与点重合），，，， 所以，所以，把平面与平面展开并摊平，如图， 在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值， 在中利用余弦定理可得，    所以的周长的最小值为． 故选：B． 2．A 【分析】把平面展开，判断出当M与C重合时，最大；的最小值为，利用余弦定理即可求解. 【详解】如图所示，把平面展开，使A、B、C、P四点共面. 当M与B重合时，； 当M与C重合时，最大； 连结交于，由两点之间直线最短可知，当位于时，最小. 此时，， 所以. 由余弦定理得： . 所以的取值范围为. 故选：A. 3．C 【分析】 将绕翻折至与共平面，当，，共线时，最小. 【详解】由正方体的性质可得为等边三角形，边长为， 为等腰直角三角形，其直角边长为， 将下图中绕翻折至与共平面， 因为，，所以，，共线时， 最小，此时为中点，则最小值为． 故选：C 4．D 【分析】根据题意，过点作，将平面绕着，把平面旋转到与平面重合，得到矩形，得到当时， 取得最小值，结合，即可求解. 【详解】如图所示，过点作，分别连接， 将平面绕着，把平面旋转到与平面重合，得到矩形， 连接，设交于点， 当时，此时到的距离最短，即取得最小值， 因为，且，可得， 又由，可得，即，所以， 即当 最小时，. 故选：D. 5．C 【分析】 根据圆柱的结构特征采用将沿直线BC旋转到某个位置的方法，将线段和转化为一条线段的长度问题，结合求解线段长度即得答案. 【详解】如图，连接EC，将沿直线BC旋转到的位置，    且在AB的延长线上．则， 由于圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，故，， 则，当三点共线时取等号， 当时，最小，最小值为， 即的最小值为， 故选：C 6．A 【分析】 将三棱锥由展开，根据勾股定理进行求解即可. 【详解】 设过点作截面与、侧棱分别交于、两点， 将三棱锥由展开，则，虫子爬行从点沿侧面到棱上的点处，再到