6.4.3.1 余弦定理 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

余弦定理 单击此处添加副标题 1.了解向量法证明余弦定理的过程 2.余弦定理及其推论并了解它们的结构特征 3.能用余弦定理处理一些简单的解三角形问题 重点：余弦定理及其推论 难点：余弦定理的推导过程及其应用 学习目标 1.我们知道，两边和他们的夹角分别相等的两个三角形全等。这说明，给定两边 及其夹角的三角形时唯一的，也就时说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示。那么，表示的公式时什么呢？ 2.直角三角形中当角C为直角时，满足 ，那么如果角C不是直角时时，它们的边有有什么关系呢？ 问题引入 在 中，三个角A，B，C所对的边分别是a,b,c,怎样用a,b和C表示c呢？（已知三角形中三边三角六个元素中几个元素求其他元素的过程角解三角形） 因为涉及的是三角形的两边长和他们的夹角， 所以我们考虑用向量的数量积来研究 ABC A B C b c a 设 我们研究的目标是用和C表示，联想到数量积的性质 = 同理：a2=b2+c2-2bc·cosA b2=c2+a2-2ca·cosB 余弦定理 探究 文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦值的积的两倍 符号语言： a2=b2+c2-2bc·cosA b2=c2+a2-2ca·cosB c2=a2+b2-2ab·cosC 通过分析特征，发现余弦定理的一个重要应用：已知两边及其夹角可以直接求第三边 已知的两边 第三边 已知两边的夹角 对边对角 要点知识：余弦定理 a b c A(bcosC，bsinC) B(a,0) C(O) = x y 刚才用的是基底法证明，向量证明的另一种方法坐标法可不可以呢？ A B C b c a D ++ = 我们知道向量是解决平面几何问题的一个工具，那么我们在来探究一下如何不用向量方法证明这个定理，并分析优缺点： 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角的关系，应用余弦定理我们可以解决已知三角形的三边，那三角形的角如何确定呢？我们来介绍一下余弦定理的推论。 应用 1.已知三角形三边求角 2.判断角的形状 ABC a2=b2+c2-2bc·cosA= 所以a41cm 例：在 中，已知b=60cm,c=34cm,A=,解这个三角形（角度精确到长度精确到1cm） 解：由余弦定理，得 　　例1.某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置C，量出C到山脚A、B的距离，分别是BC=5km，AC=8km ，再利用经纬仪（测角仪）测出C对山脚AB的张角， ,最后通过计算求出山脚的长度AB。 A B C 5km 8km =49 所以山脚的长度是7km 题型一、实际应用问题 例：已知A，B，C是的三个内角，其所对的边分别为且+ （1）求A的大小； （2）若求c的值 题型二、已知两边及夹角解三角形 （2）由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A， 化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去). 解：（1） 例.在△ABC中，已知a= ,b=2,c= , 解三角形(依次求解A、B、C). 解：由余弦定理得 题型三、已知三角形的三边解三角形 注意此时不用再用余弦定理求然后在求C，只要用三角形内角和等于，省时省力 在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状. 解：由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理的推论， 整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0. 因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2， 故△ABC是直角三角形. 题型四、判断三角形形状 1.余弦定理：a2=b2+c2-2bc·cosA b2=c2+a2-2ca·cosB c2=a2+b2-2ab·cosC 2.余弦定理推论： 解决两边及夹角的解三角形问题 1.解决已知三角形三边，求解三角形 2.判定三角形中角的形状 课堂小结： ∵cos A＝2cos2－1,2cos2＋cos A＝0， ∴2cos A＋1＝0，∴cos A＝－，∴A＝120°. 又a＝2，b＝2，cos A＝－， ∴(2)2＝22＋c2－2×2×c×， 得a·＋a·＝b＋c， 即＋＝b＋c， $$