6.3.1 二项式定理 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第6章计数原理 6.3.1 二项式定理 引 01 问题引入 最近我们学校举行知识竞赛，曾出现这样的题（有奖问题）： ①今天是星期四，从明天起的第天是星期几？ 本节我们将要学习一个在数学上有着广泛应用的(a+b)n展开式的问题，从而解决这个问题. ②今天是星期四，从明天起的第86天是星期几？ 星期五 2 为了顺利的研究(a+b)n展开式的问题，我们先从学过的知识入手. 3 引导1：两个盒里都有大小相同，质地相同的a、b两小球，每个盒分别取一个球，将两个球字母相乘，有几种结果？请试用分类加法计数原理进行分析.第一类：选择0个b，结果为_______，有______个；第二类：选择1个b，结果为_______，有______个；第三类：选择2个b，结果为_______，有______个。 则(a+b)2=(a+b)(a+b)=____a2+____ab+____b2 思 02 自学深思 （用组合数表示） 第一类： 选择0个b 第二类： 选择1个b 第三类： 选择2个b 类比 取 0 个 b 项 系数 再来分析(a+b)3展开后有哪些项？各项的系数分别是什么？ 取 1 个 b 取 2 个 b 取 3 个 b (a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) a3 a2b ab2 b3 则(a+b)3= 各字母的指数之和是3 思 02 自学深思 观察各项的次数是？ 根椐你发现的规律，你能写出(a+b)4展开吗？ (a+b)4= (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) 思 02 自学深思 仿照： 都 不 取 b 项 系数 再来分析(a+b)n展开后有哪些项？各项的系数分别是什么？ 取 一 个 b 取 两 个 b 取 三 个 b 取 n 个 b (a+b)n=(a+b)(a+b)(a+b)......(a+b) an an-1b an-2b2 an-3b3 ...... bn 则(a+b)n= ..... 思 02 自学深思 4. 归纳 n＋1 k＋1 二项式定理 二项式展开式 二项式系数 思 02 自学深思 k表示？ 追问：每一项a与b的指数和为？a的指数按什么顺序排列？b 的呢？ k表示ｂ的指数 你知道二项式定理是谁最先提出的吗？ 杨辉三角 二项式定理虽是由牛顿16世纪提出的，但是我们中国杨辉早在11世纪发现，比西方早近500年左右。在人类科学历史中，根据英国人李约瑟教授的研究，中国在人类中早期的1000多年中，在科学技术上就已经取得1000多个世界第一。这是中国的辉煌与荣耀，也是中国快速发展崛起的重要基础。 二项式定理 试一试 思 02 自学深思 × × 议 03 合作应用 注意：分式或者根式，一般要化成指数幂的形式 解： 追问：常数项是第几项？ 第4项 今天是星期四，从明天起的第天是星期几？ 解决课前的思考题： 议 03 合作应用    （1）求(1+2x)7的展开式中的第4项的系数； ∴ 第4项的二项式系数是35 解：(1)(1+2x)7的展开式的第4项是 T3+1 =·17-3· (2x)3 =×23x3 =35× 8× x3 =280x3 因此，展开式第4项的系数是280. 议 03 合作应用 追问：求(1+2x)7的展开式中的第4项的二项式系数. 通项公式 练 04 巩固练习 结 05 课堂小结 今天这节课你的收获是什么？ （1）二项式定理 （2）对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指数、通项等方面的特征去熟悉他的展开式．通项公式 在解题时应用较多，因而显得尤其重要，但必须注意，它是 的二项式展开式的第 项，而不是第　 项． 结 05 课堂小结 测 06 拓展提高 解: 求 的展开式中 的系数。 的展开式的通项： 根据题意，得 因此， 的系数是 例2(2) 通项公式 变式：能否找到展开式中的常数项 议 03 合作应用 谢 谢！ Can－kbk 【数学文化】二项式定理的历史 $$