7.3：离散型随机变量的数字特征-2023-2024学年高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第三册）

7.3：离散型随机变量的数字特征 【考点梳理】 考点一、利用定义求离散型随机变量的均值 考点二、离散型随机变量均值的性质 考点三、两点分布均值 考点四：由均值求参数问题 考点五、求离散型随机变量的方差和标准差 考点六、方差的性质 考点七、分布列、均值、方差的综合应用 【知识梳理】 知识点一：离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望． 2．离散型随机变量的均值的意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 3．离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为 Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 知识点二：两点分布的均值 如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. 知识点三：离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列如表所示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 我们用X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度． 我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝为随机变量X的方差(variance)，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差(standard deviation)，记为σ(X)． 知识点四：离散型随机变量方差的性质 1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)． 2．D(c)＝0(其中c为常数)． 【题型归纳】 题型一、利用定义求离散型随机变量的均值 1．（22-23高二下·湖南衡阳·期中）一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用表示取出球的最大编号，则（    ） A．2 B．3 C． D． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，这两次取出白球数X的均值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 3．（23-24高二上·全国·课时练习）某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜错得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X的均值（    ） A．0.9 B．0.8 C．1.2 D．1.1 题型二、离散型随机变量均值的性质 4．（22-23高二下·湖南长沙·期末）随机变量X的分布列如表，则的值为（    ） X 1 2 3 P 0.2 A 0.4 A．4.4 B．7.4 C．21.2 D．22.2 5．（21-22高二下·广东广州·期末）设离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，则=（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 6．（23-24高二上·山东德州·期末）已知离散型随机变量服从两点分布，且，则随机变量的期望为 ． 题型三、两点分布均值 7．（22-23高二下·广西·期末）若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高二下·山西太原·期中）设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 9．（21-22高二下·广东深圳·阶段练习）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 题型四：由均值求参数问题 10．（22-2