江苏省盐城市 盐城市明达初级中学2023—2024学年下学期第6周尖子生晚自修九年级数学练习

2024年春学期 九年级数学第6周尖子生晚自修练习 一、填空题 1．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点，直角顶点在轴上，双曲线经过边的中点，若，则的值为 ． 2．若三个边长为1的正方形按如图的方式放在内，其中为△，，两点都是正方形的顶点，点在边上，点在线段上，则斜边的长为 ． 3．如图，过反比例函数图象上一点作轴的平行线，交双曲线于点，过作交双曲线于点，交轴于点，连接交轴于点．若，则的面积是 ． 第1题 第2题 第3题 二、解答题 4．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，若的内心恰好在轴上，求出点的坐标； 5．如图，在矩形中，平分交于点，连接，在边上，且，过点作的垂线交于点，垂足为点，连接． （1）若，求的度数； （2）求证：； 6． 如图，是的直径，点是半圆的中点，点是上一点，连接交于，点是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）连接、、，若，，求的半径． 7．如图，和中，，，，，直线与交于点． （1）如图1，当时，延长交直线于点，交于点，求的度数（用含的式子表示）； （2）当时，将绕点旋转一周． ①如图2，当点在直线右侧时，求证：； ②当时，若，，请直接写出线段的长 7． 如图，开口向下的抛物线交轴于、左右）两点，交轴于点． （1）求线段的长； （2）设抛物线的顶点为，若，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，、为线段上两点左右，、不与、重合），，在第一象限的抛物线上是否存在这的这样的点，使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 参考答案与评分标准 一、填空题（共3小题，每题3分，共9分） 1．； 2．； 3．； 二、解答题（共5小题，共56分） 4．（本题满分10分） （1）解：把点和点分别代入解析式，得： ， 解得：， 故抛物线的解析式为； …………………………4分 （2）解：作点关于轴的对称点，连接并延长交抛物线于点，点为所求的点，如图1， ，， 的内心在轴上， 在中，令，则， 故点的坐标为， 设直线的解析式为，把点、的坐标分别代入解析式，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， 点的坐标为； …………………………10分 5．（本题满分10分） （1）解：， ， ， ， ， ， 在矩形中，， 平分， ， 在中，； …………………………5分 （2）证明：过点作于，过点作于． ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ，， ，，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 是等腰直角三角形， ； …………………………10分 6．（本题满分10分） （1）证明：连接，，如图， 点是半圆的中点， ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， 即， ． 为的半径， 是的切线； …………………………5分 （2）解：，， ， 是的直径， ， ， ． ，， ， ， ， ． 设的半径为，则， ， ， 解得：． 的半径为． …………………………10分 7．（本题满分12分） （1）解：， ， ， ，， ， ， ， ， ， ；…………………………4分 （2）①证明：在线段上截取，连接，如图， 同（1）可得， ，， ， ，， ，即， 是等腰直角三角形， ， ， ； …………………………8分 ②解：线段的长为或． …………………………12分 8．（本题满分14分） 解：（1）把代入抛物线得， ， 两边同时除以，得， 解得，， ，， ． …………………………4分 （2）对称轴的解析式为 把代入 ， ， 过点作轴于点． ， 抛物线的解析式为：． …………………………8分 （3）分三种情况： ①以点为直角顶点 ， ，， ， ， 可求得直线的解析式为， 设，则 则 解得，， 点在点右侧， ， ； …………………………10分 ②以点为直角顶点 ， 设则 则 解得，， 点在点右侧， ； …………………………12分 ③以点为直角顶点 ， ， 设，则， 把代入，得 解得，， 此时点 因为点在线段上