9.4 矩形、菱形、正方形 难度3-【优鸿】八年级下册数学同步提分练(苏科版)

初中数学·八年级下册 难度3 第9章 中⼼对称图形——平⾏四边形 矩形、菱形、正方形 1. 下列说法：①既是矩形又是菱形的四边形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③对 角线互相垂直的矩形是正方形；④对角线互相垂直平分的四边形是正方形．其中错误的有 （      ）. A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 如图，正方形 中， ， 是 上任意一点， 于点 ， 于点 ，则          ．可以用一句话概括：正方形边上的任意一点到 两对角线的距离之和等于             ． 3. 如图，在矩形 中， ， ， 是 上不与 和 重合的一个动点，过 点 分别作 和 的垂线，垂足为 ， .求 的值. 4. 如图，已知点 在四边形 的对角线延长线上， . ， (1)求证： ≌ ； (2)若 ，四边形 是什么特殊四边形? 5. 如图，在等边三角形 中，点 是 边的中点，以 为边作等边三角形 (1)求 的大小； (2)取 边的中点 ，连接 ， ，试证明四边形 是矩形. 6. 如图，在 中，点 是边 上一个动点，过 作直线 ．设 交 的平分线于点 ，交 的一个外角 的平分线于点 ． (1)求证： ； (2)若 ， ，求 的长； (3)当点 在边 上运动到什么位置时，四边形 是矩形? 7. 如图，将两张长为 ，宽为 的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张 纸条垂直时，菱形的周长有最小值 ，求菱形周长的最大值． 8. 如图所示，已知菱形的两条对角线之比为 ，周长是 ，求菱形的高和面积. 9. 某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含 角的直角三角尺 与 按如图①所示位置放置，现将 绕点 按逆时针方向旋转角 ．如图②， 与 交于点 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ． (1)求证： ； (2)当旋转角 时，四边形 是什么样的特殊四边形?并说明理由． 10. 如图，在平行四边形 中， 垂直平分 交 于 ，交 于 ． (1)求证：四边形 为菱形； (2)若 ， ， ，求四边形 的面积． 11. 如图，在正方形 中， 为 边上的一点， 为 延长线上一点， . (1)求证： ≌ ； (2)若 ，求 ． 12. 如图，以 的三边为边分别作等边 、 、 ，根据图形解答下列 问题： (1)判断四边形 的形状； (2) 满足什么条件时，四边形 是矩形? (3) 满足什么条件时，四边形 是菱形? (4) 满足什么条件时，四边形 是正方形? 参考答案 1 A 2 ；对⻆线⻓的⼀半 3 4 （1）∵
，且点 在四边形 的对⻆线延⻓线上， ∴
. ∵在 和 中， ∴ ≌ . （2）矩形 5 （1） （2）证明：∵等边三⻆形 中，点 是 的中点， ∴ . ∴ . 由第⼀问可知： ， ， ∴ . ∵ 是等边三⻆形， ∴ . 由第⼀问可知： ， ∵在 和 中， ∴ ≌ . ∴ . ∵等边三⻆形 中，点 是 边的中点， ∴ . ∴ . ∴ . ⼜∵ ， ， ∴四边形 是矩形. ， 6 （1）由题意可知： 平分 ， 平分 ， ∴ ， . ∵ ， ∴ ， . ∴ ， . ∴在 中， ； 在 中， . ∴ . （2） （3） 的中点 7 8 ⾼为 ；⾯积为 9 （1）证明： ∵两块直⻆三⻆尺 与 完全相同， ∴ ， 即 ， . 由图②可知： ， ， ∴ . ∵在 与 中， ∴ ≌ . ∴ . （2）菱形 10 （1）证明： ∵四边形 是平⾏四边形， ∴ ，即 . ∴ . ∵ 垂直平分 ， ∴ . 由图形知， 与 互为对顶⻆， ∴ . ∴在 与 中， ∴ ≌ . ∴ . ∴四边形 是平⾏四边形. ⼜∵ 、 相互垂直， ∴四边形 是菱形. （2） 11 （1）证明：∵四边形 是正⽅形， ∴ ， . 由图可知， 与 互为邻补⻆， ∴ . ∴ . ∵在 和 中， ∴ ≌ . （2） 12 （1）平⾏四边形 （2） （3） 且 （4） 且