专题1-1 向量重难点题型汇总（14类题型）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末复习核心题型突破（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一下学期期中期末复习核心题型突破 专题1-1 向量重难点题型汇总（14类题型） 总览 题型解读 模块一 重点题型 【题型1】向量的概念辨析易错题梳理 1 【题型2】 向量的垂直与共线 3 【题型3】 向量的夹角与模长计算 4 【题型4】投影向量 6 【题型5】用其他向量表示已知向量 7 【题型6】平面向量共线定理 9 模块二 中档题型 【题型7】平面向量共线定理的推论 10 【题型8】极化恒等式求数量积 12 【题型9】投影法求数量积 14 【题型10】拆分向量求数量积 15 【题型11】三角形四心的识别 17 【题型5】向量的四心运算 20 模块三 压轴题型 【题型12】等和线问题 22 【题型12】通过平面向量共线定理的推论求最值 24 【题型13】奔驰定理 27 【题型14】向量中的隐圆问题 30 模块一 重点题型 【题型1】向量的概念辨析易错题梳理 1、零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别. 2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； 共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 3、共线向量与相等向量关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量． 4、若两向量共线,则两向量所在的直线有平行和重合两种可能 5、零向量是影响向量平行或共线判断的“幽灵”,要特别注意 6、向量相等具有传递性,即若,则。而向量的平行不具有传递性,即若,未必有。因为零向量平行于任意向量,当时,可以是任意向量,所以与不一定平行。但若,则必有 1． （多选）下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 D．“”的充要条件是“且” 2． 有下列结论： ①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； ②若，则，不是共线向量； ③若，则四边形是平行四边形； ④若，，则； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中，错误的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【巩固练习1】下列命题中，正确的个数是（    ） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若满足，且与同向，则 ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若，则 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【巩固练习2】（多选）下列叙述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【题型2】 向量的垂直与共线 （1）向量共线定理：如果且，则；反之且，则一定存在唯一一个实数，使． （2）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． （3） （4）若，则 向量共线运算：已知，则向量，共线的充要条件是 3． 向量，，，若∥，且，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 4． 已知，． （1）若与垂直，求k的值； （2）若为与的夹角，求的值． 【巩固练习1】已知向量（1，1），（﹣1，1），（4，2），若，λ、μ∈R，则λ+μ＝（    ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【巩固练习2】设向量，，其中. (1)若，求实数x的值； (2)已知且，若，求的值域. 【巩固练习3】（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为，则 D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 【题型3】 向量的夹角与模长计算 与夹角公式： 与夹角公式： 模长公式：或， 5． 已知向量与的夹角为，则（    ） A．6 B． C．3 D． 6． 已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 7． 已知向量，，其中． （1）试计算及的值；（2）求向量与夹角的余弦值． 8． 设向量，，向量与的夹角为锐角，则x的范围为 . 【巩固练习1】向量，，若，的夹角为钝角，则的范围是________ 【巩固练习2】已知，为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知，表示两个夹角为的单位向量，为平面上的一个固定点，为这个平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标.设点的斜坐标为，则 . 【巩固练习4】已知向量，，，且，． （1）求向量、；（2）若，，求向量，的夹角的大小. 【题型4】投影向量 向量在上的投影向量：，其中是与同方向的单位向量 向量在上的投影向量模长： 9． 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B．2 C． D． 10． 已知向量，则在方向上的投影向量为 . 11． 已