解析几何中的平行四边形问题研究讲义-2024届高三数学二轮复习

解析几何中的平行四边形问题研究 解析几何中经常出现平行四边形的存在性问题，这里就需要涉及到两个问题，第一个是引出平行四边形后如何用代数或者坐标方法刻画，还有就是刻画完平行四边形后的进一步代数处理.针对这两个问题，我们展开讨论. 一．基本原理 有关平行四边形的坐标刻画，我们有如下常用方法： （1）一组对边平行且相等，进一步可以利用对边所在的向量相等转化，这样的好处就是可以很容易坐标化处理； （2）对角线相互平分，转化为对角线所在端点的中点坐标重合，若是弦的中点，还可以与点差法结合使用； （3）向量加法的平行四边形法则. 下面针对上面三种转化方法，展开详细讨论. 二．典例分析 例1（2023年成都二诊）．已知，分别为椭圆的左、右焦点，与椭圆有相同焦点的双曲线在第一象限与椭圆相交于点，且． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，且．若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，求的取值范围． 解析：（1）椭圆的方程为． （2）设，，则．四边形为平行四边形， （方式1.对边平行且相等），． （方式2.对角线相互平分），解得： （方式3.平行四边形法则），解得： 点均在椭圆上，，，． ，．． 由消去，得．显然． ，．． ，因为，所以，即，所以，即.． 例2．已知过点的椭圆：的焦距为2，其中为椭圆的离心率． （1）求的标准方程； （2）设为坐标原点，直线与交于两点，以，为邻边作平行四边形，且点恰好在上，试问：平行四边形的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由． 解析：（1）设的标准方程为. （2）平行四边形的面积为定值，理由如下：由（1）可得：，则有： 当直线的斜率不存在时，设，若为平行四边形，则点为长轴顶点，不妨设，可得，解得，故平行四边形的面积；当直线的斜率存在时，设， 联立方程，消去得， 则， 可得， ∵，若为平行四边形，则，即点在椭圆上，整理可得，满足，则， 可得，点到直线的距离，故平行四边形的面积； 综上所述：平行四边形的面积为定值. 例3．已知椭圆：的左、右焦点，恰好是双曲线的左右顶点，椭圆上的动点满足，过点的直线交椭圆C于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆上是否存在点使得四边形（为原点）为平行四边形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 解析：（1）. 因为的左右顶点为和，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以椭圆的标准方程为： （2）假设存在点使得四边形（为原点）为平行四边形，设，当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，所以，，因为为平行四边形，所以，所以，所以，即，点在椭圆上，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，，，，整理得， 所以，，，因为为平行四边形，所以，所以，即，所以，将点代入椭圆方程得，，方程无解，故当直线的斜率存在时，不存在点.综上所述，存在，使得四边形为平行四边形. 例4．已知椭圆C：，为右焦点，过的直线交椭圆与，两点，当直线垂直于轴时，直线的斜率为，其中为坐标原点． （1）求椭圆的方程； （2）点为椭圆上一动点，四边形的面积为，如果四边形是平行四边形，且，试求出的值． 解析：（1）为右焦点，则，，， 解得，（舍去负值），，故椭圆的方程为. （2）设直线：，，，则联立， 可得，，由根与系数关系可知：，， 设线段的中点坐标为，则，，则，又，则点坐标满足椭圆的方程，， 解得或（舍），故，， 因此，解得. 学科网（北京）股份有限公司 $$