17.4一元二次方程的根与系数的关系 课件 2023—2024学年沪科版数学八年级下册

*17.4 一元二次方程的根与系数的关系 第十七章 一元二次方程 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 一元二次方程的根与系数的关系 二次项系数为1的一元二次方程的性质 学习目标 知识点 一元二次方程的根与系数的关系 知1－讲 1 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a ≠0)，当b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，设这两个实数根分别为x1，x2，这两个根与系数的关系是x1+x2=－，x1x2= . 这个关系通常称为韦达定理 . 感悟新知 知1－讲 特别提醒 一元二次方程的根与系数的关系存在的前提是a ≠ 0，b2－4ac ≥ 0. 感悟新知 知1－讲 2. 与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形 (1)x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2； (2)(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2； (3)+ = . 感悟新知 知1－练 例 1 设x1，x2 是方程4x2－7=2x2＋8x 的两个实数根， 求x1＋x2和x1x2 的值. 解题秘方：根据根与系数的关系求值. 感悟新知 知1－练 解：将方程整理，得2x2－8x－7=0. ∴ a=2，b=－8，c=－7. ∴Δ =(－8)2－4×2×(－7)=120 ＞ 0. ∴ x1+x2=－ =－ =4，x1x2= = =－ . 感悟新知 知1－练 特别提醒 求一元二次方程两根之和、两根之积时，要把方程化成一元二次方程的一般形式，先确定方程有实数根，再代入公式直接计算即可 . 感悟新知 知1－练 已知一元二次方程x2－6x+q=0 有一个根为2，求方程 的另一个根和q 的值. 例2 解题秘方：利用两根之和与积与系数的关系求解 . 感悟新知 知1－练 解：设这个方程的另一个根为m， 则m+2=6，2m=q， ∴ m=4，q=8. ∴方程的另一个根为4， q的值为8. 另解 也可以把x=2代入方程中，求得字母q=8，再解x2－6x+8=0，求得两根分别为 2 和 4. 感悟新知 知1－练 教你一招：已知一根，利用根与系数的关系求方程中待定字母的值的策略： 求解此类问题时，若待定字母在一次项中，可先用两根之积与系数的关系求出另一根，然后代入方程求出待定字母的值，或者用两根之和与系数的关系求出待定字母的值；若待定字母在常数项中，可先用两根之和与系数的关系求出另一根，然后代入方程求出待定字母的值，或者用两根之积与系数的关系求出待定字母的值 . 感悟新知 知2－讲 知识点 二次项系数为1的一元二次方程的性质 2 1. 以x1，x2 为根的一元二次方程是 x2－(x1 ＋ x2)x ＋ x1x2=0. 2. 如果方程x2 ＋ mx ＋ n=0 的两个实数根为x1，x2， 那么x1 ＋ x2=－m，x1x2=n. 感悟新知 知2－讲 特别解读 应用性质1能求一元二次方程，应用性质2能转化记忆一元二次方程的根与系数的关系. 感悟新知 知2－练 [ 中考·淄博]已知实数x1，x2 满足x1+x2=3， x12+x22=5 ，则以x1，x2 为根的一元二次方程是( ) A. x2－3x+2=0 B. x2+3x－2=0 C. x2+3x+2=0 D. x2－3x－2=0 例3 解题秘方：利用完全平方公式计算出 x1· x2=2，然后根据根与系数的关系写出以 x1， x2 为根的一元二次方程 . 感悟新知 答案：A 知2－练 解：∵ x12＋x22=5，∴(x1＋x2) 2－2x1x2=5. 又∵ x1＋x2=3，∴ 9－2x1x2=5. ∴ x1x2=2. ∴以 x1， x2 为根的一元二次方程为 x2－3x＋2=0. 感悟新知 知2－练 方法提醒 二次项系数为1的一元二次方程与两根的关系是：两根之和是一次项系数的相反数，两根之积等于常数项 . 感悟新知 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程 的根与系数的 关系 应用 判定两根的符号 已知一根求另一根 及字母的值 构建以两已知数为 根的一元二次方程 两根之和 两根之积 使用条件 求涉根代数式的值 课堂小结 $$