5.3.1 函数的单调讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1 函数的单调性 明确学习目标 课标要求 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． 重点难点 能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． 知晓结构体系 1夯实必备知识 一、函数的单调性与导数的关系 函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)上的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 注意点：(1)在某个区间上恒有f′(x)＝0，f(x)是常函数；(2)原函数的图象只看增(减)的变化，导函数的图象只看正(负)变化． 二、利用导数求函数的单调区间 利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域． (2)求出导数f′(x)的零点． (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域上的单调性． 三、由单调性求参数的取值范围 在某区间D上，若f′(x)>0⇒函数f(x)在D上单调递增；在某区间D上，若f′(x)<0⇒函数f(x)在D上单调递减． 若函数f(x)在D上单调递增⇒f′(x)≥0；若函数f(x)在D上单调递减⇒f′(x)≤0. 注意点：(1)一般采用分离参数的方法解决恒成立的问题；(2)m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max；m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min；(3)需要对等号进行单独验证． 四、导数中的函数构造问题 1.利用f(x)与x构造 用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有 (1)对于f′(x)>g′(x)，构造h(x)＝f(x)－g(x)． (2)对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝f(x)＋g(x)． (3)对于f′(x)>a，构造h(x)＝f(x)－ax. (4)对于xf′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝xf(x)． (5)对于xf′(x)－f(x)>0，构造h(x)＝. 2.利用f(x)与ex构造 　f(x)与ex构造常见的形式 (1)对于f′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝exf(x)． (2)对于f′(x)>f(x)，构造h(x)＝. 2提升学科能力 题点一 求已知函数的单调性 【典例分析1】 求下列函数的单调区间． (1)； (2)； (3)． 【变式训练1】 1．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的导函数的图象如图，则下列结论正确的是（    ）    A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递增 3．已知函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)的单调递增区间是 . 4．函数的单调减区间可以为（    ） A． B． C． D． 题点二 含参函数的单调性 【典例分析2】 已知函数． (1)当时，求在曲线上的点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【变式训练2】 1．已知函数，讨论函数在上的单调性； 2．已知函数 讨论的单调性. 3．已知，讨论的单调性. 4．已知，讨论的单调性. 题点三 已知单调性求参数 【典例分析3】 3．1.已知函数. (1)若函数在R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若函数的单调递减区间是，求实数a的值； (3)若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围. 【变式训练3】 1．若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．3 2．已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 3.若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，． （1）当时，求的单调区间； （2）若在区间内单调递增，求a的取值范围； （3）若存在单调递减区间，求a的取值范围． 5．已知函数（为自然数对数的底数）. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围. 题点四 原函数与导函数的图像关系 【典例分析4】 设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【变式训练4】 1．是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（    ）    A．  B．   C．   D．   2．设函数的导函数图像如下图所示，则函数的图像可能是（    ） A．B．C． D． 3．已知函数的导函数图象如图，那么的图象可能是（    ）    A．    B．  C．  D．   4．已知