精品解析：上海市南洋模范中学2023-2024学年高三下学期初态考试数学试卷

2023学年第二学期南模中学高三年级初态考试 数学学科试卷 （本试卷共21题，考试时间120分钟，满分150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分．第1~6题每题4分，第7~12题每题5分．） 1. 不等式的解集为___________． 2. 底面半径长为1，母线长为的圆锥的体积为______． 3. 已知复数，则______． 4. 已知，则______． 5. 抛物线的准线方程为_______. 6 已知，则______． 7. 已知函数在区间上的最大值为2，则正数的最小值为___________． 8. 上海国际电影节影片展映期间，某影院准备在周日的某放映厅安排放映4部电影，两部纪录片和两部悬疑片，当天白天有5个时段可供放映（5个连续的场次），则两部悬疑片不相邻（中间隔空场也叫不相邻），且当天最先放映的一定是悬疑片的排片方法有______种（结果用数字表示）． 9. 已知点、，直线：与：交于点M，则的最大值为______． 10. 已知定义在上的函数，且，则函数的零点个数为______． 11. 如图所示，图1中涂色小正方形个数，图2中涂色小正方形个数，图3中涂色小正方形个数，图4中涂色小正方形个数，按照图中所示规律则______． 12. 已知实数，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．第13~14题每题4分，第15~16题每题5分．） 13. 若是关于x的方程的一个根（其中i为虚数单位，），则q的值为（ ） A. B. 2 C. －2 D. 1 14. 已知，是两个不共线的单位向量，，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知直线l：，点、，设，，下列条件中可以推出直线l与线段AB的延长线相交的是（ ） A. B. C. D. 16. 已知四棱锥的底面为矩形，平面ABCD，点Q为侧棱PA（不含端点的线段）上动点，则点Q在平面上的射影在（ ） A. 棱PB上 B. 内部 C. 外部 D. 不确定 三、解答题（本大题共有5题，满分78分．） 17. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，． （1）证明：； （2）求二面角正切值． 18. 我们平时常用的视力表叫做对数视力表，视力呈现为4.8，4.9，5.0，5.1．视力5.0为正常视力．否则就是近视．某校进行一次对学生视力与学习成绩的相关调查，随机抽查了100名近视学生的成绩（按照各科占一定权重计算而得的满分100分的综合成绩），得到频率分布直方图如下： （1）估计该校近视学生学习成绩的第85百分位数；（精确到0.1） （2）已知该校学生的近视率为，学生成绩的优秀率为（成绩分视作优秀），从该校学生中任选一人，若此人的成绩为优秀，求此人近视的概率．（以样本中的频率作为相应的概率） 19. 在中，若. （1）试判断的形状； （2）如果三角形面积等于4，求三角形周长的最小值. 20. 已知点、，椭圆：与双曲线：有相同焦点． （1）求双曲线的方程与离心率． （2）点为双曲线的一部分（且）上的动点，证明：存在过点P的双曲线的切线等分的面积（O为原点）． （3）设双曲线切线l与椭圆交于C、D两点，求动弦中点M的轨迹方程． 21. 已知函数的表达式为． （1）当时，证明； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若对恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期南模中学高三年级初态考试 数学学科试卷 （本试卷共21题，考试时间120分钟，满分150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分．第1~6题每题4分，第7~12题每题5分．） 1. 不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的求法可直接求得结果. 【详解】由得：，解得：，即不等式的解集为. 故答案为：. 2. 底面半径长为1，母线长为的圆锥的体积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据圆锥母线、底面半径、高的勾股关系，结合圆锥的体积公式进行求解即可. 【详解】因为圆锥的底面半径长为1，母线长为， 所以圆锥的高为， 于是圆锥的体积为， 故答案为： 3. 已知复数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义及复数的运算即可求解. 【详解】因为，则， 所以， 故答案为：. 4 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先用诱导公式将因式变形为，再用二倍角公式将原式转化为表示，最后将齐次式转化为正切表示后求值即可. 【详解】， 将，原式. 故答案是：. 5. 抛物线的准线方程为