第7.1.2讲 全概率公式-2023-2024学年新高二数学同步精讲精练宝典（人教A版2019选修第三册）

第七章 随机变量及其分布 第7.1.2讲 全概率公式 班级_______ 姓名_______ 组号_______ 1．理解并掌握乘法公式和全概率公式，并会用这两个公式解决简单的实际问题，重点提升数学运算核心素养． 2．理解贝叶斯公式并能简单应用，重点培养数学建模、数据分析核心素养． 1、乘法公式的应用 2、全概率公式的应用 3、贝叶斯公式的应用 　乘法公式 在P(B|A)，P(BA)，P(A)这三者中，如果已知P(A)与P(B|A)，能不能求出P(BA)? 提示：能，P(BA)＝P(A)·P(B|A)． 乘法公式 由条件概率公式P(B|A)＝可知，P(BA)＝ P(A)P(B|A)．这就是说，根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率．一般地，这个结论称为乘法公式． 若Ai表示事件，i＝1,2,3，且P(A1)＞0，P(A1A2)＞0.则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)，其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，而P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率． 　全概率公式和贝叶斯公式 如图，有三个箱子，分别编号为1,2,3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同，某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球. (1)求取得红球的概率； (2)发现该球是红球，求该球是取自1号箱的概率． 提示：(1)设事件Bi表示“球取自i号箱”(i＝1,2,3)，事件A表示“取得红球”，其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一同时发生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥．运用互斥事件概率的加法公式得到P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A)，再对求和中的每一项运用乘法公式得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝.因此，取得红球的概率为. (2)设事件Bi表示“球取自i号箱”，事件A表示“取得红球”，由问题1知P(A)＝.由条件概率公式得P(B1|A)＝＝＝＝. 1．一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B，从而P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)． 2．全概率公式 (1)当P(A)＞0且P()＞0时，由乘法公式有 P(BA)＝P(A)P(B|A)，P(B)＝P()P(B|)， 所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．这称为全概率公式． (2)公式推广 定理1　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n. 则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝(BAi)＝(Ai)P(B|Ai)． 上述公式也称为全概率公式．n＝3时的情形可借助下图来理解． 3．贝叶斯公式 (1)一般地，当1＞P(A)＞0且P(B)＞0时，有 P(A|B)＝＝. 这称为贝叶斯公式． (2)贝叶斯公式推广 定理2　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.则对Ω中的任意概率非零的事件B，有 P(Aj|B)＝＝. 上述公式也称为贝叶斯公式． 　　　　 全概率公式是“由原因推结果”即事件B发生(结果发生)的可能性与各种情形的“作用”大小有关，而贝叶斯公式是“已知结果求原因．”即已知事件B发生条件下，探求导致B发生的每个情形的概率(如P(A1|B))． 题型1、乘法公式的应用 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)等于（    ） A． B． C． D． 3．某市卫健委为调查研究某种流行病患者的年龄分布情况，随机调查了大量该病患者，年龄分布如下图.已知该市此种流行病的患病率为0.1%，该市年龄位于区间的人口占总人口的28%.若从该市居民中任选一人，若此人年龄位于区间，则此人患这种流行病的概率为（    ）（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率）      A．0.28 B．0.00054 C． D． 4．已知，为两个随机事件，，，，，则（    ） A．0.1 B． C．0.33 D． 5．一袋中有除颜色外完全相同的7个白球和3个红球.现从袋中往外取