课时达标检测(28) 两角和与差的余弦公式及其应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

课时达标检测(二十八)　两角和与差的余弦公式及其应用 基础达标 　 一、单项选择题 1.满足cos αcos β=-sin αsin β的一组α,β的值是 (　　) A.α=,β= B.α=,β= C.α=,β= D.α=,β= 解析　由已知得cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,检验知选B。 答案　B 2.已知sin α=,α是第二象限角,则cos(α+60°)= (　　) A. B. C. D. 解析　因为sin α=,α是第二象限角,所以cos α=-,故cos(α+60°)=cos αcos 60°-sin αsin 60°=×-×=。 答案　A 3.已知sin(30°+α)=,60°<α<150°,则cos α为(　　) A. B.- C. D. 解析　因为sin(30°+α)=,60°<α<150°,所以90°<30°+α<180°,cos(30°+α)=-。所以cos α=cos [(30°+α)-30°]=cos(30°+α)cos 30°+sin(30°+α)sin 30°=×+×=。故选D。 答案　D 4.若cos(α-β)=,则(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2= (　　) A. B.- C. D.- 解析　原式=2+2(sin αsin β+cos αcos β)=2+2cos(α-β)=2+2×=。 答案　A 5.设α,β都是锐角,且cos α=,sin(α+β)=,则cos β等于 (　　) A. B. C.或 D.或 解析　依题意得sin α==,cos(α+β)=±=±。又α,β均为锐角,所以0<α<α+β<π,cos α>cos(α+β)。因为>>-,所以cos(α+β)=-。cos β=cos [(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=。 答案　A 二、多项选择题 6.下列各式化简正确的是 (　　) A.cos 80°cos 20°-sin 80°sin 20°=cos 60° B.cos 15°=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30° C.sin(α+45°)sin α+cos(α+45°)cos α=cos 45° D.cosα-=cos α+sin α 解析　根据两角和与差的余弦公式知BC都是正确的,A是错的;而对于D,cosα-=cos αcos+sin αsin=cos α+sin α,故D的化简是错误的。 答案　BC 7.已知α,β,γ∈0,,sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,则下列说法正确的是 (　　) A.cos(β-α)= B.cos(β-α)=- C.β-α= D.β-α=- 解析　由已知,得sin γ=sin β-sin α,cos γ=cos α-cos β。两式分别平方相加,得(sin β-sin α)2+(cos α-cos β)2=1。所以-2cos(β-α)=-1,所以cos(β-α)=,所以A正确,B错误。因为sin γ=sin β-sin α>0,所以β>α,所以β-α=,所以C正确,D错误,故选AC。 答案　AC 三、填空题 8.满足sin x+cos x=的角x-<x<0等于　　　　。  解析　sin x+cos x=cos xcos+sin xsin=cos=,因为-<x<0,所以x-=-,即x=-。 答案　- 9.在△ABC中,sin A=,cos B=-,则cos(A+B)=　　　　。  解析　因为cos B=-,且0<B<π,所以<B<π,所以sin B===,且0<A<,所以cos A===,所以cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=×-×=-。 答案　- 10.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称。若sin α=,则cos(α-β)=　　　　。  解析　因为角α与角β均以Ox为始边,终边关于y轴对称,所以sin β=sin α=,cos β=-cos α,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-cos2α+sin2α=-(1-sin2α)+sin2α=2sin2α-1=2×-1=-。 答案　- 四、解答题 11.已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,求cos β的值。 解　因为α,β∈,所以α+β∈(0,π),又cos α=,cos(α+β)=-,所以sin α==,sin(α+β)==。又β=(α+β)-α,所以cos β=cos [(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=。 12.已知0<β<,<α<,cos=,sin=,求sin(α