6.5.2 第2课时 平面与平面垂直的判定-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

第2课时　平面与平面垂直的判定 　 类型一　平面与平面垂直的判定 　　【例1】　 如图所示,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC。求证:平面ABC⊥平面SBC。 证明　 证法一:(利用定义证明)因为∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,所以△ASB和△ASC是等边三角形,则有SA=SB=SC=AB=AC,令其值为a,则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰直角三角形。取BC的中点D,如图所示,连接AD,SD,则AD⊥BC,SD⊥BC,所以∠ADS为二面角A⁃BC⁃S的平面角。在Rt△BSC中,因为SB=SC=a,所以SD=a,BD==a,在Rt△ABD中,AD=a,在△ADS中,因为SD2+AD2=SA2,所以∠ADS=90°,即二面角A⁃BC⁃S为直二面角,故平面ABC⊥平面SBC。 证法二:(利用判定定理)因为SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,所以SA=AB=AC,所以点A在平面SBC上的投影为△SBC的外心。因为△SBC为等腰直角三角形,所以点A在△SBC上的投影D为斜边BC的中点,所以AD⊥平面SBC。又因为AD⊂平面ABC。所以平面ABC⊥平面SBC。 　　证明平面与平面垂直的方法:(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角;(2)利用面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直。即要证面面垂直,只要转证线面垂直,其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直 　　【变式训练】　 如图,四边形ABCD是边长为a的菱形,PC⊥平面ABCD,E是PA的中点,求证:平面BDE⊥平面ABCD。 证明　 连接AC,设AC∩BD=O,连接OE。因为O为AC的中点,E为PA的中点,所以EO是△PAC的中位线,所以EO∥PC。因为PC⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD。又因为EO⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABCD。 类型二　面面垂直性质与判定的综合应用 　　【例2】　 如图,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E为垂足。求证: (1)PA⊥平面ABC; (2)当E为△PBC的垂心时,△ABC是直角三角形。 证明　(1)如图,在平面ABC内取一点D,过点D作DF⊥AC于点F。因为平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,所以DF⊥平面PAC。又因为PA⊂平面PAC,所以DF⊥PA。过点D作DG⊥AB于点G,同理可证DG⊥PA。因为DG⊂平面ABC,DF⊂平面ABC,DG∩DF=D,所以PA⊥平面ABC。 (2)如图,连接BE并延长交PC于点H。因为E是△PBC的垂心,所以PC⊥BE。因为AE⊥平面PBC,PC⊂平面PBC,所以PC⊥AE。又因为AE∩BE=E,AE⊂平面ABE,BE⊂平面ABE,所以PC⊥平面ABE。又因为AB⊂平面ABE,所以PC⊥AB。由(1)知PA⊥平面ABC,而AB⊂平面ABC,所以PA⊥AB。又因为PA∩PC=P,PA⊂平面PAC,PC⊂平面PAC,所以AB⊥平面PAC。又AC⊂平面PAC,所以AB⊥AC,所以△ABC是直角三角形。 　　在解决垂直问题的过程中,要注意平面与平面垂直的判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意面面垂直和线面垂直的互相转化 【变式训练】　 如图,四棱锥P⁃ABCD的底面是AB=2,BC=的矩形,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD。 (1)证明侧面PAB⊥侧面PBC; (2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角; (3)求直线AB与平面PCD的距离。 解　(1)证明:在矩形ABCD中,BC⊥AB,又因为侧面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥侧面PAB。又因为BC⊂侧面PBC,所以侧面PAB⊥侧面PBC。 (2)如图,取AB的中点E,连接PE,CE,因为△PAB是等边三角形,所以PE⊥AB。又因为侧面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB,PE⊂平面PAB,所以PE⊥平面ABCD。所以∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角。PE=BA=,CE==,在Rt△PEC中,∠PCE=45°,所以侧棱PC与底面ABCD所成的角是45°。 (3)在矩形ABCD中,AB∥CD,因为CD⊂侧面PCD,AB⊄侧面PCD,所以AB∥侧面PCD。取CD中点F,连接EF,PF,则EF⊥AB。又因为PE⊥AB,PE∩EF=E,所以AB⊥平面PEF。又因为AB∥CD,所以CD⊥平面PEF。CD⊂平面PCD。所以平面PCD⊥平面PEF。作EG⊥PF,垂足为G,则EG⊥平面PCD。在Rt△PEF中,EG==,即直线AB与平面PCD的距离为。 类型三　折叠问题 　　【例3】　如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥B