5.3 复数的三角表示-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

*§3　复数的三角表示 　　 如图,我们知道,与复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量的模r称为这个复数的模,且r=。以原点O为顶点,x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线为终边的角θ,从图可以知道:因此,z=a+bi=rcos θ+irsin θ=r(cos θ+isin θ)。你能模仿上式表示1+i吗? 1.了解复数的三角表示。 2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系。 3.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义。 1.复数的三角表示式 (1)辐角:如图,与复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量的模r称为这个复数的模,且r=。 以原点O为顶点,x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线为终边的角θ,称为复数z=a+bi的辐角。 (2)复数的三角表示式:由图可知, 因此,z=a+bi=rcos θ+irsin θ=r(cos θ+isin θ)。 于是,任何复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示为z=r(cos θ+isin θ),其中r=,cos θ=,sin θ=。 这个式子称为复数z=a+bi(a,b∈R)的三角表示式,简称三角形式。 为了与三角形式区分,a+bi称为复数的代数表示式,简称代数形式。 (3)辐角的主值。 当z=r(cos θ+sin θ)≠0时,z的辐角有无穷多个值,这些值相差2π的整数倍。将满足条件0≤θ<2π的辐角值,称为辐角的主值,记作arg z,即0≤arg z<2π。 2.复数乘法运算的三角表示及其几何意义 将复数z1,z2分别用三角形式表示为z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2)。由复数乘法的定义与两角和的三角函数公式,有z1·z2=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)=r1r2[(cos θ1cos θ2-sin θ1sin θ2)+i(sin θ1cos θ2+cos θ1sin θ2)]=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)], 即r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]。  这就是说,两个复数相乘,积的模等于它们的模的积,积的辐角等于它们的辐角的和。简记为“模相乘,辐角相加”。 两个复数z1,z2相乘时,可以先画出它们分别对应的向量,,然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转角θ2(若θ2<0,就要把绕原点O按顺时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的r2倍,所得向量就表示复数z1,z2的乘积(如图)。这是复数乘法的几何意义。 3.复数除法运算的三角表示 设z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z2≠0,则 = = =[(cos θ1cos θ2+sin θ1sin θ2)-i(cos θ1sin θ2-sin θ1cos θ2)] =[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)], 所以=[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]。 这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。简记为“模相除,辐角相减”。 微提醒 复数三角表示式的结构特征: (1)非负:r≥0。(2)同角:θ前后一致,可取任意角。(3)前余后正:余弦值在前,正弦值在后。(4)加号连接:“cos θ”与“isin θ”用加号连接。 微思考 1.复数的辐角有多少个?辐角的主值有多少个?他们之间有什么关系? 提示:任何一个不为零的复数的辐角有无限多个;在[0,2π)内的辐角称为该复数的辐角的主值,只有一个;辐角与辐角的主值相差2π的整数倍。例如,复数i的辐角是+2kπ(k∈Z),辐角的主值是,它们相差2kπ。 2.复数0有三角形式么? 提示:复数0的三角形式为0=0(cos θ+isin θ),其中θ是任意的。因为复数0对应着零向量,而零向量的方向是任意的,所以复数0的辐角是任意的。 　 类型一　将复数的代数形式化成三角形式 　　【例1】　将下列复数的代数形式转化为三角形式(辐角取主值); (1)-2;(2)3i;(3)-i;(4)--i。 解　(1)r=2,cos θ=-1,sin θ=0,所以θ=π,则-2=2(cos π+isin π)。 (2)r=3,cos θ=0,sin θ=1,所以θ=,则3i=3cos+isin。 (3)r==2,cos θ=,sin θ=-,所以θ=,则-i=2cos+isin。 (4)r==2,cos θ=-,sin θ=-,所以θ=,则--i=2cos+isin。 　　将复数的代数形式化为三角形式的一般步骤: 【变式训练】　(1)复数-1+i的三角形式