5.1.2 复数的几何意义-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

1.2　复数的几何意义 　　大自然中有许多一一对应关系,数学中也有许多一一对应关系,例如同学们所在班级里,教室里的座位与每一位同学就是一一对应关系。为了增强复数的应用性,使复数不仅有“数”的特征,还要有“形”的特征,引入了复平面的概念,从“形”的角度表明了复数的“存在性”,为进一步研究复数奠定了基础。 1.通过实例了解复数与复平面内的点一一对应。 2.理解复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立的一一对应关系。 3.能够通过向量的模求复数的模,灵活运用共轭复数。 1.复平面 (1)复平面:通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面。 (2)实轴:坐标系中的x轴叫作实轴,在它上面的点都表示实数。 (3)虚轴:坐标系中的y轴叫作虚轴,除去原点外,在它上面的点都表示纯虚数。 2.复数的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)是一一对应的: 复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)。 (2)复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内以原点为起点的向量=(a,b)也是一一对应的: 复数z=a+bi平面向量。 3.复数的模 向量的模称为复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|。由向量模的定义可知,|z|=|a+bi|=。如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它的模|z|===|a|(a的绝对值)。 4.共轭复数 若两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则称这两个复数互为共轭复数。复数z的共轭复数用表示。当z=a+bi(a,b∈R)时,=a-bi。显然,在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称,并且它们的模相等。另外,当复数z=a+bi的虚部b=0时,有z=。也就是说,任意一个实数的共轭复数仍是它本身,反之亦然。 微提醒 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)用复平面内的点Z(a,b)表示,复平面内点Z的坐标是(a,b),而非(a,bi)。例如,复平面内的点(-2,3)表示复数-2+3i;反之,复数-2+3i对应复平面内的点的坐标是(-2,3)。 (2)复数与平面向量建立一一对应关系的前提是向量的起点是原点,若起点不是原点,则复数与向量就不能建立一一对应关系。 微思考 1.复数z=a+bi、复平面内的点Z(a,b)、向量有怎样的对应关系? 提示: 2.互为共轭复数的两复数的模有何关系?在复平面内它们对应的点有何关系? 提示:相等,关于实轴对称。 　 类型一　复数与复平面内的点的关系 　　【例1】　(1)实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析　实部为-2,虚部为1的复数所对应的复平面内的点为(-2,1),位于第二象限。故选B。 答案　B (2)在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i(m∈R)的对应点 ①在虚轴上,求复数z; ②在实轴负半轴上,求复数z。 解　①若复数z的对应点在虚轴上,则m2-m-2=0,所以m=-1或m=2,此时,z=6i或z=0。 ②若复数z的对应点在实轴负半轴上,则解得m=1,所以z=-2。 　　利用复数与点的对应关系解题的步骤:(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的依据。(2)列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解 【变式训练】　(1)若复数a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点在实轴的上方,则 (　　) A.a>0且b>0 B.a∈R且b>0 C.a≥0且b>0 D.a∈R且b<0 解析　复数a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点在实轴的上方,则复数的实部a∈R,虚部b>0。故选B。 答案　B (2)复数i+i2在复平面内对应的点在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析　因为i+i2=i-1,它在复平面内对应的点为(-1,1),所以复数i+i2在复平面内对应的点在第二象限。故选B。 答案　B类型二　复数与复平面内向量的关系 　　【例2】　向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,则+对应的复数是 (　　) A.-10+8i B.10-8i C.0 D.10+8i 解析　因为向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,所以=(5,-4),=(-5,4),所以+=(5,-4)+(-5,4)=(0,0),所以+对应的复数是0。故选C。 答案　C 　　复数与平面向量的对应关系:根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数。反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段表示的向量,即为复数对应的