课时达标检测(42) 总体离散程度的估计-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

课时达标检测(四十二)　总体离散程度的估计 基础达标 一、单项选择题 1.已知一组数据3,5,7,4,6,则该样本的标准差为(B) A.1 B. C. D.2 解析　数据3,5,7,4,6的平均数=×(3+5+7+4+6)=5,方差s2=×[(3-5)2+(5-5)2+(7-5)2+(4-5)2+(6-5)2]=2,所以标准差为,故选B。 2.样本中共有5个个体,其值分别为a,0,1,2,3。若该样本的平均数为1,则样本的标准差为(D) A. B. C.2 D. 解析　因为样本a,0,1,2,3的平均数为1,所以=1,解得a=-1。则样本的方差s2=×[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2,标准差为。故选D。 3.若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为(C) A.8 B.15 C.16 D.32 解析　样本数据x1,x2,…,x10的标准差s=8,则s2=64,而样本数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的方差为22s2=22×64,所以其标准差为=16。 4.在高一期中考试中,甲、乙两个班的数学成绩统计如下表: 班级 人数 平均数 方差 甲 20 2 乙 30 3 其中=,则两个班数学成绩的方差为(C) A.3 B.2 C.2.6 D.2.5 解析　由题意可知两个班的数学成绩的平均数为==,则两个班数学成绩的方差为s2=×[2+(-)2]+×[3+(-)2]=×2+×3=2.6。 5.某公司普通员工的年收入分别为x1,x2,…,xn(n≥3,n∈N*),设这n个数据的中位数为x,平均数为y,方差为z。若加上收入最高的公司总经理的年收入xn+1,则关于这(n+1)个数据,下列说法正确的是(B) A.平均数大大增加,中位数一定变大,标准差可能不变 B.平均数大大增加,中位数可能不变,标准差变大 C.平均数大大增加,中位数可能不变,标准差不变 D.平均数可能不变,中位数可能不变,标准差可能不变 解析　平均数受样本中每个数据的影响,极端值对平均数的影响很大,而中位数一般不受少数极端值的影响,标准差反映数据的离散程度,数据的离散程度也会受到xn+1的影响而更加分散,从而标准差变大,故选B。 6.某班有48名学生,在一次考试中统计出平均分数为70,方差为75,后来发现有2名同学的成绩有误,甲实得80分却记为50分,乙实得70分却记为100分,更正后平均分和方差分别是(B) A.70,25 B.70,50 C.70,1.04 D.65,25 解析　甲少记30分,乙多记30分,则总分不变,由此平均分不发生变化;原方差s2=[++… ++502+1002-48×702]=75,更正后方差s'2=[++… ++802+702-48×702] =[++…++502+1002-48×702-1 200]=s2-×1 200=50。故选B。 二、多项选择题 7.有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则(CD) A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同 解析　设样本数据x1,x2,…,xn的平均数、中位数、标准差、极差分别为,m,σ,t,根据线性关系下的公式可得,新样本数据y1,y2,…,yn的平均数、中位数、标准差、极差分别为+c,m+c,σ,t,因为c≠0,所以C,D正确,故选CD。 8.如图是甲、乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图,则下列说法正确的是(ACD) A.若甲、乙射击成绩的平均数分别为,,则> B.若甲、乙射击成绩的方差分别为,,则< C.乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数 D.乙比甲的射击成绩稳定 解析　由题图知甲的射击成绩为9,10,6,7,9,8,乙的射击成绩为6,7,5,5,7,7。对于A,=×(9+10+6+7+9+8)=,=×(6+7+5+5+7+7)=,所以>,所以A正确;对于B,从甲、乙射击成绩看,甲的成绩比较分散,而乙的成绩比较集中,所以甲的方差较大,即>,所以B错误;对于C,甲的射击成绩从小到大排序为6,7,8,9,9,10,则中位数为8.5,乙的射击成绩从小到大排序为5,5,6,7,7,7,则中位数为6.5,所以乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数,所以C正确;对于D,因为乙的成绩比较集中,所以乙比甲的射击成绩稳定,所以D正确。故选ACD。 三、填空题 9.一组数据2,x,4,6,10的平均数是5,则此组数据的标准差是 2 。  解析　因为一组数据2,x,4,6,1