课时达标检测(35) 平面与平面垂直的性质-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

课时达标检测(三十五)　平面与平面垂直的性质 基础达标 一、单项选择题 1.设α⁃l⁃β是直二面角,直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,a,b与直线l都不垂直,那么(C) A.a与b可能垂直,但不可能平行 B.a与b可能垂直,也可能平行 C.a与b不可能垂直,但可能平行 D.a与b不可能垂直,也不可能平行 解析　当a∥l,b∥l时,a∥b。若a⊥b,可在a上任取点A,过点A在α内作l的垂线c,如图,则c⊥β,所以c⊥b。因为a∩c=A,所以b⊥α,所以b⊥l,这与已知矛盾。所以a与b不可能垂直。 2.如图所示,在长方体ABCD􀆼A1B1C1D1的棱AB上任取一点E,作EF ⊥A1B1于点F ,则EF 与平面 A1B1C1D1的关系是(D) A.平行 B.EF ⊂平面A1B1C1D1 C.相交但不垂直 D.相交且垂直 解析　由于长方体中平面ABB1A1⊥平面ABCD,所以根据面面垂直的性质定理可知,EF 与平面A1B1C1D1相交且垂直。 3.如图所示,在三棱锥P􀆼ABC中,平面ABC⊥平面PAB,PA=PB,AD=DB,则(B) A.PD⊂平面ABC B.PD⊥平面ABC C.PD与平面ABC相交但不垂直 D.PD∥平面ABC 解析　因为PA=PB,AD=DB,所以PD⊥AB。又因为平面ABC⊥平面PAB,PD⊂平面PAB,平面ABC∩平面PAB=AB,所以PD⊥平面ABC。故选B。 4.如图所示,三棱锥P􀆼ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是(D) A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点 解析　因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC⊂平面PAC,所以AC⊥平面PBC。又因为BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°。所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点。故选D。 5.在四棱柱ABCD􀆼A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC,AD=CD,则BD与CC1(C) A.平行 B.共面 C.垂直 D.不垂直 解析　如图所示,在四边形ABCD中,因为AB=BC,AD=CD,所以BD⊥AC。因为平面AA1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C。又CC1⊂平面AA1C1C,所以BD⊥CC1。故选C。 6.如图,线段AB的两端在直二面角α⁃l⁃β的两个面内,并与这两个面都成30°角,则异面直线AB与l所成的角是(B) A.30° B.45° C.60° D.75° 解析　如图,设AB=a,在平面α内,作AA'⊥l于点A',则AA'⊥β,连接A'B,则∠ABA'=30°。在Rt△AA'B中,AB=a,所以AA'=a。同理作BB'⊥l于点B',连接AB',则∠BAB'=30°,所以BB'=a,AB'=a,所以A'B'==a。过点B作BC􀰿A'B',连接A'C,则A'C􀰿BB',连接AC,在Rt△AA'C中,AC==a,由于BC⊥平面AA'C,所以△ABC为直角三角形,且AC=BC,所以∠ABC=45°,即异面直线AB与l所成的角为45°,故选B。 二、多项选择题 7.下列命题中正确的是(ABC) A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内的所有直线都垂直于平面β 解析　平面α⊥平面β,α∩β=l,直线a在平面α内,且a∥l,a⊄β,所以a∥β,所以A正确,D错误;若平面α内存在垂直于平面β的直线,根据面面垂直的判定定理,有平面α⊥平面β,与前提矛盾,所以B正确;设平面α∩平面γ=m,平面β∩平面γ=n,在平面γ内任取一点A,过该点作c⊥m,d⊥n。因为平面α⊥平面γ,平面α∩平面γ=m,c⊂平面γ,所以c⊥平面α。又l⊂平面α,所以l⊥c。同理l⊥d。因为c∩d=A,所以l⊥平面γ。所以C正确。 8.如图,三棱柱A1B1C1⁃ABC中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面三角形ABC是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述不正确的是(ABC) A.AC⊥平面ABB1A1 B.CC1与B1E是异面直线 C.A1C1∥B1E D.AE⊥BB1 解析　因为底面三角形ABC是正三角形,所以对于A,AC与AB的夹角为60°,即两直线不垂直,所以AC不可能垂直于平面ABB1A1,故A错误;对于B,CC1与B1E都在平面CC1B1B中,且不平行,故相交,所以B错误;对于C,A1C1,B1E是异面直线,故C错误;对于D,