课时达标检测(34) 平面与平面垂直的判定-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

课时达标检测(三十四)　平面与平面垂直的判定 基础达标 一、单项选择题 1.已知直线a,b与平面α,β,γ,下列能使α⊥β成立的条件是(D) A.α⊥γ,β⊥γ B.α∩β=a,b⊥a,b⊂β C.a∥β,a∥α D.a∥α,a⊥β 解析　由a∥α,知α内必有直线l与a平行,而a⊥β,所以l⊥β,所以α⊥β。故选D。 2.下列命题中正确的是(C) A.若平面α和β分别过两条互相垂直的直线,则α⊥β B.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线,则α⊥β C.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β D.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β 解析　当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时,平面α和β有可能平行,故A错误;由直线与平面垂直的判定定理知,B,D错误,C正确。 3.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,△ABD的面积是△ACD的面积的2倍,沿AD将△ABC翻折,使翻折后BC⊥平面ACD,此时二面角B􀆼AD􀆼C的大小为(C) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析　由已知BD=2CD,翻折后,在Rt△BCD中,∠BDC=60°,而AD⊥BD,CD⊥AD,故∠BDC是二面角B􀆼AD􀆼C的平面角,其大小为60°。故选C。 4.正方体ABCD􀆼A1B1C1D1的棱长为1,则二面角A􀆼B1D1⁃B的余弦值为(A) A. B. C. D. 解析　如图,取B1D1的中点E,O为底面ABCD的中心,则∠AEO是二面角A⁃B1D1⁃B的平面角。因为正方体的棱长为1,所以B1D1=B1A=AD1=,所以AE=。又OE=BB1=1,所以cos∠AEO==,即二面角A⁃B1D1⁃B的余弦值为,故选A。 5.将锐角A为60°,边长为a的菱形沿BD折成60°的二面角,则折叠后点A与点C之间的距离为(C) A.a B.a C.a D.a 解析　如图,设折叠后点A到点A1的位置,取BD的中点E,连接A1E,CE,则BD⊥CE,BD⊥A1E,于是∠A1EC为二面角A1􀆼BD􀆼C的平面角。故∠A1EC=60°。因为A1E=CE,所以△A1EC是等边三角形。所以A1C=A1E=CE=a。 6.(2022·全国乙卷)在正方体ABCD􀆼A1B1C1D1中,E,F 分别为AB,BC的中点,则(A) A.平面B1EF ⊥平面BDD1 B.平面B1EF ⊥平面A1BD C.平面B1EF ∥平面A1AC D.平面B1EF ∥平面A1C1D 解析　对于A选项,在正方体ABCD􀆼A1B1C1D1中,因为E,F 分别为AB,BC的中点,易知EF ⊥BD,EF ⊥DD1,从而EF ⊥平面BDD1,又因为EF ⊂平面B1EF ,所以平面B1EF ⊥平面BDD1,故A正确;对于B选项,因为平面A1BD∩平面BDD1=BD,由上述过程易知平面B1EF ⊥平面A1BD不成立,故B错误;对于C选项,由题意知直线AA1与直线B1E必相交,故平面B1EF 与平面A1AC有公共点,故C错误;对于D选项,易知平面AB1C∥平面A1C1D,又因为平面AB1C与平面B1EF 有公共点B1,所以平面A1C1D与平面B1EF 不平行,故D错误。 二、多项选择题 7.在正四面体PABC中,D,E,F 分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中成立的是(ABD) A.BC∥平面PDF B.DF ⊥平面PAE C.平面PDF ⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面ABC 解析　如图所示,因为BC∥DF ,BC⊄平面PDF ,DF ⊂平面PDF ,所以BC∥平面PDF ,所以A正确;由BC⊥PE,BC⊥AE,PE∩AE=E,所以BC⊥平面PAE,又BC∥DF ,所以DF ⊥平面PAE,所以B正确;因为BC⊥平面PAE,所以平面ABC⊥平面PAE,所以D正确。故选ABD。 8.如图所示,在三棱锥P􀆼ABC中,已知PC⊥BC,PC⊥AC,点E,F ,G分别是所在棱的中点,则下面结论中正确的是(ABC) A.平面EF G∥平面PBC B.平面EF G⊥平面ABC C.∠BPC是直线EF 与直线PC所成的角 D.∠F EG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角 解析　因为GF ∥PC,GE∥CB,GF ∩GE=G,PC∩CB=C,所以平面EF G∥平面PBC,所以A正确;因为PC⊥BC,PC⊥AC,PC∥GF ,所以GF ⊥BC,GF ⊥AC。又BC∩AC=C,BC,AC⊂平面ABC,所以GF ⊥平面ABC。因为GF ⊂平面EF G,所以平面EF G⊥平面ABC,所以B正确;易知EF ∥BP,所以∠BPC是直线EF 与直线PC所成的角,所以C正确;因为GE与AB不垂直,所以∠F EG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的