课时达标检测(33) 直线与平面垂直的性质-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

课时达标检测(三十三)　直线与平面垂直的性质 基础达标 一、单项选择题 1.直线l垂直于平面α,m⊂α,则有(D) A.l∥m B.l和m异面 C.l和m相交 D.l和m不平行 解析　因为l⊥α,m⊂α,所以l⊥m,则l和m可能相交,也可能异面,即l和m不平行。 2.已知m,n表示两条不同直线,α表示平面。下列说法正确的是(B) A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n C.若m⊥α,n∥α,则m∥n D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α 解析　由题可知,若m∥α,n∥α,则m与n平行、相交或异面,故A错误;若m⊥α,n⊂α,则m⊥n,故B正确;若m⊥α,n∥α,则m⊥n,故C错误;若m∥α,m⊥n,则n∥α或n⊥α或n与α相交或n⊂α。故D错误。 3.地面上有两根相距a米的旗杆,它们的高分别是b米和c米(b>c),则它们上端的距离为(D) A. B. C. D. 解析　如图,由线面垂直的性质定理可知AB∥CD,作AE⊥CD于点E,则DE=b-c,故 AD=。 4.已知直线a,b和平面α,β,且a⊥α,则下列说法正确的是(A) A.b∥α⇒b⊥a B.b⊥a⇒b∥α C.β⊥α⇒a∥β D.a⊄β⇒α∩β≠⌀ 解析　对于A,如图①所示。过直线b作平面β与平面α相交于直线l,由直线与平面平行的性质定理可知,b∥l,又因为a⊥α,l⊂α,所以a⊥l,所以b⊥a,A正确;选项B,C均少考虑了直线在平面内的情况,分别如图②,图③所示,均错误;对于D,有如图④所示的情况,α∥β,D错误。 5.已知直线m,n是异面直线,则过直线n且与直线m垂直的平面(B) A.有且只有一个 B.至多一个 C.有一个或无数个 D.不存在 解析　若异面直线m,n垂直,则符合要求的平面有一个,否则不存在。故选B。 6.如图所示,在三棱锥A􀆼SBC中,∠BSC=90°,∠ASB=∠ASC=60°,SA=SB=SC,则直线AS与平面SBC所成的角为(C) A.120° B.60° C.45° D.30° 解析　因为∠ASB=∠ASC=60°,SA=SB=SC,所以△ASB与△SAC都是等边三角形,所以AB=AC。如图所示,取BC的中点D,连接AD,SD,则AD⊥BC。设SA=a,则在Rt△SBC中,BC=a,CD=SD=a。在Rt△ADC中,AD==a,则AD2+SD2=SA2,所以AD⊥SD。又BC∩SD=D,BC,SD⊂平面SBC,所以AD⊥平面SBC。因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角。在Rt△ASD中,SD=AD=a,所以∠ASD=45°,即直线AS与平面SBC所成的角为45°。 二、多项选择题 7.如图,在正方形ABCD中,E,F 分别为BC,CD的中点,H为EF 的中点,分别沿AE,EF ,F A将△ABE,△ECF ,△ADF 折起,使B,C,D重合于点O,构成四面体AOEF ,连接AH,则在四面体AOEF 中,下列结论正确的是(ACD) A.AO⊥平面EOF B.AH⊥平面EOF C.AO⊥EF D.AF ⊥OE 解析　易知OA⊥OE,OA⊥OF ,OE∩OF =O,所以OA⊥平面EOF ,故A正确,B错误;因为EF ⊂平面EOF ,所以AO⊥EF ,故C正确;同理可得OE⊥平面AOF ,所以OE⊥AF ,故D正确。故选ACD。 8.如图,等边三角形ABC的边长为1,BC边上的高为AD,沿AD把三角形ABC折起来,则(ABCD) A.在折起的过程中始终有AD⊥平面DB'C B.三棱锥A􀆼DB'C的体积的最大值为 C.当∠B'DC=60°时,点A到B'C的距离为 D.当∠B'DC=90°时,点C到平面ADB'的距离为 解析　因为AD⊥DC,AD⊥DB',且DC∩DB'=D,所以AD⊥平面DB'C,故A正确;当DB'⊥DC时,△DB'C的面积最大,此时三棱锥A􀆼DB'C的体积也最大,最大值为××××=,故B正确;当∠B'DC=60°时,△DB'C是等边三角形,设B'C的中点为E,连接AE,DE,则AE⊥B'C,即AE为点A到B'C的距离,AE==,故C正确;当∠B'DC=90°时,CD⊥DB',CD⊥AD,故CD⊥平面ADB',则CD就是点C到平面ADB'的距离,则CD=,故D正确。 三、填空题 9.在长方体ABCD􀆼A1B1C1D1中,E∈BD,F ∈B1D1,且EF ⊥AB,则EF 与AA1的位置关系是 平行 。  解析　如图,因为AB⊥BB1,AB⊥EF ,且AB不垂直于平面BB1D1D,所以EF 与BB1不相交,所以EF ∥BB1,又AA1∥BB1,所以EF ∥AA1。 10.一条与平面α相交的线段,其长度为10 cm,两端点到平面的距离分别是2 cm,3 cm,这条线段与平面α所成的角大小是 30°