课时达标检测(31) 直线与直线垂直-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

课时达标检测(三十一)　直线与直线垂直 基础达标 一、单项选择题 1.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c(B) A.一定平行 B.一定垂直 C.一定是异面直线 D.一定相交 解析　因为a⊥b,b∥c,所以a⊥c。 2.在长方体ABCD􀆼A1B1C1D1中,AB=BC=,AA1=,则异面直线AC1与BB1所成的角为(C) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析　如图,连接A1C1,因为BB1∥AA1,所以∠A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角。因为tan∠A1AC1===,所以∠A1AC1=60°。故选C。 3.长方体ABCD􀆼A1B1C1D1的12条棱所在直线与棱AA1所在直线垂直的共有(B) A.6条 B.8条 C.10条 D.12条 解析　12条棱所在直线中与棱AA1所在直线垂直的有AB,BC,CD,DA,A1B1,B1C1,C1D1,D1A1,共8条。故选B。 4.在正方体ABCD􀆼A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,则异面直线DE与AB所成角的正切值为(C) A. B. C. D. 解析　如图,因为AB∥CD,所以∠CDE即为异面直线DE与AB所成角。设正方体的棱长为2,因为E为棱BB1的中点,所以BE=1,则CE=。所以tan∠CDE==。 5.在各棱长均相等的直三棱柱ABC􀆼A1B1C1中,已知M是棱BB1的中点,N是棱AC的中点,则异面直线A1M与BN所成角的正切值为(C) A. B.1 C. D. 解析　如图,取AA1的中点P,连接PN,PB,则由直三棱柱的性质可知A1M∥PB,则∠PBN为异面直线A1M与BN所成的角(或其补角)。设三棱柱的棱长为2,则PN=,PB=,BN=,所以PN2+BN2=PB2,所以∠PNB=90°,在Rt△PBN中tan∠PBN===。故选C。 二、多项选择题 6.如图,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,则在下列说法中,正确的为(ABD) A.AC⊥BD B.AC∥截面PQMN C.AC=BD D.异面直线PM与BD所成的角为45° 解析　在四面体ABCD中,因为截面PQMN是正方形,所以PQ∥MN,PQ⊄平面ACD,MN⊂平面ACD,所以PQ∥平面ACD。因为平面ACB∩平面ACD=AC,所以PQ∥AC,可得AC∥平面PQMN,同理可得BD∥平面PQMN,BD∥PN,因为PN⊥PQ,所以AC⊥BD。由BD∥PN,所以∠MPN是异面直线PM与BD所成的角,且为45°。由上面可知BD∥PN,PQ∥AC,=,=,而AN与DN不一定相等,PN=MN,所以BD和AC不一定相等。综上可知,A,B,D都正确。 7.如图,在正四棱柱ABCD􀆼A1B1C1D1中,AB=AA1,E,F 分别为AB,BC的中点,异面直线AB1与C1F 所成角的余弦值为m,则(BC) A.m= B.直线A1E与直线C1F 共面 C.m= D.直线A1E与直线C1F 异面 解析　如图,连接DC1,DF ,则DC1∥AB1,所以∠DC1F 为异面直线AB1与C1F 所成的角,因为AB=AA1,在正四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F 分别为AB,BC的中点,设AA1=,则AB=2,C1D=,C1F =,DF =,所以在△DF C1中,根据余弦定理,cos∠DC1F ==,所以m=;连接A1C1,AC,EF ,则A1C1∥AC,EF ∥AC,所以EF ∥A1C1,所以A1E与C1F 共面。 三、填空题 8.若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为 60° 。  解析　因为a∥OA,根据等角定理,又异面直线所成的角为锐角或直角,所以a与OB所成的角为60°。 9.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN= 5 。  解析　如图,取BC的中点G,连接MG,NG,则MG􀰿AC,NG􀰿BD。又 AC与BD所成的角为90°,于是有MG=4,NG=3,∠MGN=90°,MN2=MG2+NG2=25,所以MN=5。 10.如图,已知在长方体ABCD􀆼A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F 分别是BD1和AD的中点,则异面直线CD1,EF 所成的角的大小为 90° 。  解析　取CD1的中点G,连接EG,DG。因为E是BD1的中点,所以EG∥BC,EG=BC。因为F 是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,所以DF ∥BC,DF =BC,所以EG∥DF ,EG=DF ,所以四边形EF DG是平行四边形,所以EF ∥DG,所以∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF 所成的角。又A1A=AB,所以四边形ABB1A1,四边形C