课时达标检测(25) 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

课时达标检测(二十五)　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 基础达标 一、单项选择题 1.轴截面为正方形的圆柱的侧面积与表面积的比是(B) A.1∶2 B.2∶3 C.1∶3 D.1∶4 解析　设正方形的边长为1,则S侧=2π··1=π,S表=S侧+2S底=π+2π·=π。所以S侧∶S表=2∶3。 2.如果圆锥的表面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为(C) A.120° B.150° C.180° D.210° 解析　设圆锥的底面半径为r,母线长为l,侧面展开图扇形的圆心角为θ,根据条件,得πrl+πr2=3πr2,即l=2r。又由弧长公式,得=2πr,解得θ=180°。故选C。 3.若圆台的体积为7π,上、下底面的半径分别为1,2,则圆台的高为(A) A.3 B.4 C.5 D.6 解析　由题意,得V=(π+2π+4π)h=7π,所以h=3。 4.若一个球的体积为4π,则它的表面积为(C) A.3π B.12 C.12π D.36π 解析　设球的半径为R,依题意有R3=4π ,解得R=,所以球的表面积为S=4πR2=12π。故选C。 5.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为(A) A. B. C. D. 解析　由题意知,此球是正方体的内切球,根据其几何特征知,此球的直径与正方体的棱长相等,故可得球的直径为2,故半径为1,其体积为×π×13=。故选A。 6.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为(B) A.πa2 B.πa2 C.πa2 D.5πa2 解析　由题意知,该三棱柱为正三棱柱,且侧棱长与底面边长相等,均为a。如图,设P为三棱柱上底面的中心,O为球心,易知AP=×a=a,OP=a,所以球的半径R=OA,满足R2=+=a2,所以S球=4πR2=πa2。故选B。 二、多项选择题 7.如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是(CD) A.圆柱的侧面积为2πR2 B.圆锥的侧面积为2πR2 C.圆柱的侧面积与球面面积相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2 解析　依题意得球的半径为R,则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2,所以A错误;圆锥的侧面积为πR×R=πR2,所以B错误;球面面积为4πR2,因为圆柱的侧面积为4πR2,所以C正确;因为V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=πR2·2R=πR3,V球=πR3,所以V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3=3∶1∶2,所以D正确。故选CD。 8.如图所示,△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,过点C作CD⊥AB,垂足为D,下列说法正确的是(AD) A.以BC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为15π B.以BC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为36π C.以AC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为25π D.以AC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为16π 解析　以BC所在直线为轴旋转时,所得旋转体为底面半径为3,母线长为5,高为4的圆锥,所以侧面积为π×3×5=15π,体积为×π×32×4=12π,所以A正确,B错误;以AC所在直线为轴旋转时,所得旋转体为底面半径为4,母线长为5,高为3的圆锥,侧面积为π×4×5=20π,体积为×π×42×3=16π,所以C错误,D正确。故选AD。 三、填空题 9.如果我们把高和底面半径相等的圆锥称为“标准圆锥”,那么母线长为2的“标准圆锥”的体积为  。  解析　设圆锥底面半径为r,则=2,则r=2,所以圆锥的体积V=×πr2×2=。 10.如图所示,一个正方体的棱长为2,以相对两个面的中心连线为轴,钻一个直径为1的圆柱形孔,则所得几何体的表面积为 24+1.5π 。  解析　几何体的表面积S=6×22-π×0.52×2+2π×0.5×2=24+1.5π。 11.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,且这个球的体积是π,那么这个三棱柱的体积是 48 。  解析　设球的半径为r,则πr3=π,得r=2,柱体的高为2r=4。又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等,所以底面正三角形的边长为4,所以正三棱柱的体积V=×(4)2×4=48。 四、解答题 12.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比。 解　设正方体的棱长为a,这三个球的半径分别为r1,r2,r3,三个球的表面积分别为S1,S2,S3。作出截面图,分别求出三个球的半径。 (1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面的中心,经过四个切点及球