课时达标检测(24) 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

课时达标检测(二十四)　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 基础达标 一、单项选择题 1.正三棱锥的所有棱长均为a,则该三棱锥的表面积为(C) A.3a2 B.2a2 C.a2 D.4a2 解析　S=4××a×a=a2。故选C。 2.长方体的高为2,底面积等于12,过不相邻两侧棱的截面(对角面)的面积为10,则此长方体的侧面积为(C) A.12 B.24 C.28 D.32 解析　设长方体底面长方形的长与宽分别为a,b,则ab=12。又由题意,知×2=10,解得a=4,b=3,故长方体的侧面积为2×(4+3)×2=28。故选C。 3.已知正四棱锥的底面边长是2,侧棱长是,则该正四棱锥的表面积为(B) A. B.12 C.8 D.4 解析　在正四棱锥S􀆼ABCD中,取BC中点E,连接SE,则△SBE为直角三角形,所以SE===2。所以该正四棱锥的表面积S=S正方形ABCD+4×S△SBC=2×2+4××2×2=12。 4.一个棱柱和一个棱锥的高相等,底面积之比为2∶3,则棱柱与棱锥的体积的比值为(B) A. B.2 C. D.3 解析　设棱柱的高为h,底面积为S,则棱锥的高为h,底面积为S,故二者的体积之比为===2。故选B。 5.如图,已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2,互相平行的两个侧面的距离为1 m,则这个六棱柱的体积为(B) A. m3 B. m3 C.1 m3 D. m3 解析　设正六棱柱的底面边长为a m,高为h m,则2ah=1,a=1,解得a=,h=。所以六棱柱的体积V=××6×=(m3)。故选B。 6.正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为(D) A.56 B.28 C. D. 解析　如图所示,在正四棱台ABCD⁃A1B1C1D1中,点O1,O分别为上、下底面的中心,连接OA,O1A1,OO1,则由题意可知O1O⊥底面ABCD,OA=2,O1A1=。过点A1作A1E∥OO1,交AO于点E,则A1E⊥底面ABCD,四边形OEA1O1为矩形,OE=O1A1=,所以AE=2-=。因为AA1=2,所以A1E=O1O==,即正四棱台的高为,所以正四棱台的体积V=×(42+22+)×=。故选D。 二、多项选择题 7.用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到上、下两部分几何体,且上、下两部分的高之比为1∶2,则关于上下两几何体的说法正确的是(BD) A.侧面积之比为1∶4 B.侧面积之比为1∶8 C.体积之比为1∶27 D.体积之比为1∶26 解析　依题意,上部分为小棱锥,下部分为棱台,所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3,高之比为1∶3,所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9,体积之比为1∶27,即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8,体积之比为1∶26。 8.已知三棱锥S⁃ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则(AC) A.三棱锥S⁃ABC的体积为 B.三棱锥S⁃ABC的体积为 C.三棱锥O⁃ABC的体积为 D.三棱锥O⁃ABC的体积为 解析　由于三棱锥S⁃ABC与三棱锥O⁃ABC的底面都是△ABC,O是SC的中点,因此三棱锥S⁃ABC的高是三棱锥O⁃ABC高的2倍,所以三棱锥S⁃ABC的体积也是三棱锥O⁃ABC体积的2倍,在三棱锥O⁃ABC中,其棱长都为1, 如图,S△ABC=×1×=,高OD==,则VO⁃ABC=××=,VS⁃ABC=2VO-ABC=。故选AC。 三、填空题 9.已知一个长方体的三个面的面积分别是,,,则这个长方体的体积为  。  解析　设长方体从一顶点出发的三条棱长分别为a,b,c,则ab=,ac=,bc=,三式相乘得(abc)2=6,故长方体的体积V=abc=。 10.如图所示,三棱锥的顶点为P,PA,PB,PC为三条侧棱,且PA,PB,PC两两互相垂直,又PA=2,PB=3,PC=4,则三棱锥P􀆼ABC的体积V= 4 。  解析　三棱锥的体积V=Sh,其中S为底面积,h为高,而三棱锥的任意一个面都可以作为底面,所以此题可把B作为顶点,△PAC作为底面求解。故V=S△PAC·PB=××2×4×3=4。 11.如图,半径为2的半球内有一个内接正六棱锥P􀆼ABCDEF ,则此正六棱锥的侧面积是 6 。  解析　显然正六棱锥P􀆼ABCDEF 的底面的外接圆是球的直径所在的圆,由已知,可得该圆的半径为2。易得其内接正六边形的边长为2。又正六棱锥P􀆼ABCDEF 的高为2,则斜高为=,所以该正六棱锥的侧面积为6××2×=6。 四、解答题 12.现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的表面积。 解　如图,设底面对角线AC=a,BD=b, 交点为O,对角线A1C=15,B1