8.6.3 第2课时 平面与平面垂直的性质-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

第2课时　平面与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质定理 文字表述 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直 符号表示 α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β 图示 微提醒 对面面垂直的性质定理的理解:(1)定理的实质是由面面垂直得线面垂直,故可用来证明线面垂直。(2)已知面面垂直时,可以利用此定理转化为线面垂直,再转化为线线垂直。 微思考 1.若平面α⊥平面β,任取直线l⊂α,则必有l⊥β,对吗? 提示:不对。由面面垂直的性质定理可知,当l与平面α,β的交线垂直时,l⊥β。 2.分别在两个垂直平面内的两条直线有哪些位置关系? 提示:平行、相交(含垂直)或异面。 类型一 平面与平面垂直性质定理的应用 　　【例1】　已知P是△ABC所在平面外的一点,且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC,求证:BC⊥AC。 证明　如图,在平面PAC内作AD⊥PC于点D, 因为平面PAC⊥平面PBC, AD⊂平面PAC,且AD⊥PC, 所以AD⊥平面PBC, 又BC⊂平面PBC, 所以AD⊥BC。 因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC, 因为AD∩PA=A,所以BC⊥平面PAC, 又AC⊂平面PAC,所以BC⊥AC。 　若所给题目中有面面垂直的条件,一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直。应用面面垂直的性质定理,注意三点:①两个平面垂直是前提条件;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于它们的交线。 【变式训练】　如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是边长为a的菱形,G为AD的中点,且∠DAB=60°。侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD。求证: (1)BG⊥平面PAD; (2)AD⊥PB。 证明　(1)如图,在菱形ABCD中,连接BD, 由已知∠DAB=60°, 所以△ABD为正三角形, 因为G是AD的中点,所以BG⊥AD。 因为平面PAD⊥平面ABCD, 且平面PAD∩平面ABCD=AD,BG⊂平面ABCD, 所以BG⊥平面PAD。 (2)如图,连接PG。 因为△PAD是正三角形,G是AD的中点, 所以PG⊥AD,由(1)知BG⊥AD。 又因为PG∩BG=G。所以AD⊥平面PBG。 而PB⊂平面PBG,所以AD⊥PB。 类型二 与面面垂直的性质有关的计算问题 【例2】　如图,四棱锥P􀆼ABCD的底面是AB=2,BC=的矩形,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD。 (1)证明侧面PAB⊥侧面PBC; (2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角; (3)求直线AB与平面PCD的距离。 解　(1)证明:在矩形ABCD中,BC⊥AB, 又因为侧面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB,BC⊂平面ABCD, 所以BC⊥侧面PAB。 又因为BC⊂侧面PBC, 所以侧面PAB⊥侧面PBC。 (2)如图,取AB的中点E,连接PE,CE, 因为△PAB是等边三角形, 所以PE⊥AB。 又因为侧面PAB⊥底面ABCD,PE⊂平面PAB, 所以PE⊥平面ABCD。 所以∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角。 PE=BA=,CE==, 在Rt△PEC中,∠PCE=45°, 所以侧棱PC与底面ABCD所成的角是45°。 (3)在矩形ABCD中,AB∥CD, 因为CD⊂侧面PCD,AB⊄侧面PCD, 所以AB∥侧面PCD。 取CD中点F ,连接EF ,PF ,则EF ⊥AB。 又因为PE⊥AB,PE∩EF =E, 所以AB⊥平面PEF 。 又因为AB∥CD, 所以CD⊥平面PEF 。CD⊂平面PCD。 所以平面PCD⊥平面PEF 。 作EG⊥PF ,垂足为G,则EG⊥平面PCD。 在Rt△PEF 中,EG==, 即直线AB与平面PCD的距离为。 与面面垂直有关的计算问题的类型:(1)求角的大小(或角的某个三角函数值):如两异面直线所成的角、线面角、二面角等。(2)求线段的长度或点到直线、平面的距离等。(3)求几何体的体积或平面图形的面积。 【变式训练】　如图所示,平面α⊥平面β,在α与β的交线l上取线段AB=4 cm,AC,BD分别在平面α和平面β内,AC⊥l,BD⊥l,AC=3 cm,BD=12 cm,求线段CD的长。 解　因为AC⊥l,AC=3 cm,AB=4 cm, 所以BC=5 cm。 因为BD⊥l,α∩β=l,α⊥β,BD⊂β, 所以BD⊥α。 又BC⊂α,所以BD⊥BC。 在Rt△BCD中,CD==13 cm。 类型三 轨迹问题 　　【例3】　已知直四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°。以D1为球心,为半径的球面与侧面BCC1B1的交线