8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

8.6.3　平面与平面垂直 　　在平面几何中,我们先定义了角的概念,利用角刻画两条相交直线的位置关系,进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况。类似地,我们需要先引进二面角的概念,用以刻画两个相交平面的位置关系,进而研究两个平面互相垂直。 借助长方体,通过直观感知、了解空间中平面与平面垂直的判定定理与性质定理。 第1课时　平面与平面垂直的判定 1.二面角的概念 (1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。 (2)画法:如图所示。 (3)记作:二面角α􀆼l⁃β或α⁃AB􀆼β或P􀆼l􀆼Q或P􀆼AB􀆼Q。 (4)二面角的平面角。 若有①O∈l;②OA⊂α,OB⊂β;③OA⊥l,OB⊥l,则二面角α⁃l⁃β的平面角是∠AOB。 (5)二面角的平面角α的范围:0°≤α≤180°。 2.面面垂直的定义 (1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。平面α与β垂直,记作α⊥β。 (2)画法:如图,画两个互相垂直的平面时,通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直。 3.两平面垂直的判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直。 微提醒 (1)在表示二面角的平面角时,要求OA⊥l,OB⊥l。(2)∠AOB的大小与O点在l上的位置无关。(3)面面垂直的判定定理可简记:若线面垂直,则面面垂直。(4)此定理是判定两个平面互相垂直的依据,也是找出一个平面的垂面的依据。 微思考 1.两个平面相交,可以构成几个二面角?其大小有什么关系? 提示:构成四个二面角,其中相对的两个二面角大小相等,相邻的两个二面角大小互补。 2.二面角的平面角确定的平面与二面角的棱是什么位置关系? 提示:垂直。 类型一 二面角的概念 　　【例1】　(多选)下列说法正确的是(BCD) A.只有过二面角棱上的某一特殊点,分别在两个半平面内引垂直于棱的射线,这两条射线所成的角才为二面角的平面角 B.和二面角的棱垂直的平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角 C.在二面角的一个面内引棱的垂线,该垂线与其在另一个面内的射影所成的角是二面角的平面角或其补角 D.二面角的平面角可以是一个锐角、一个直角或一个钝角 解析　由二面角的平面角的定义可知,平面角的顶点可以是二面角棱上的任意一点,所以A错误,由二面角定义的定义B、C、D正确。 二面角的平面角必须具备三个条件:(1)二面角的平面角的顶点在二面角的棱上,可以是棱上任意一点。(2)二面角的平面角的两边分别在二面角的两个面内。(3)二面角的平面角的两边都与棱垂直。 【变式训练】　(1)判断下列命题的真假。 ①二面角的取值范围是[0°,90°]; ②二面角的棱与二面角的平面角所在平面垂直; ③从二面角内一点引二面角的两个面的垂线,则两垂线所成的角与二面角的平面角相等。 答案　(1)①假命题。　②真命题。　③假命题。 (2)(多选)下列命题中正确的是(BD) A.两个相交平面组成的图形叫做二面角 B.异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补 C.二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射线所成的角的最小角 D.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 解析　由二面角的定义知,A错误;a,b分别垂直于两个半平面,则a,b都垂直于二面角的棱,故B正确;C中所作的射线不一定垂直于二面角的棱,故C错误;由定义知D正确。 类型二 求二面角的大小 【例2】　如图,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB。求: (1)二面角A􀆼PD􀆼C的平面角的度数; (2)二面角B􀆼PA􀆼D的平面角的度数; (3)二面角B􀆼PA􀆼C的平面角的度数; (4)二面角B􀆼PC􀆼D的平面角的度数。 解　(1)因为PA⊥平面ABCD, CD⊂平面ABCD, 所以PA⊥CD,又四边形ABCD为正方形, 所以CD⊥AD,又PA∩AD=A。 所以CD⊥平面PAD,又CD⊂平面PCD, 所以平面PAD⊥平面PCD。 所以二面角A􀆼PD􀆼C的平面角的度数为90°。 (2)因为PA⊥平面ABCD,AB,AD⊂平面ABCD。 所以AB⊥PA,AD⊥PA。 所以∠BAD为二面角B⁃PA⁃D的平面角。 又由题意知∠BAD=90°, 所以二面角B⁃PA⁃D的平面角的度数为90°。 (3)因为PA⊥平面ABCD,AB,AC⊂平面ABCD。 所以AB⊥PA,AC⊥PA。 所以∠BAC为二面角B⁃PA⁃C的平面角。 又四边形ABCD为正方形,所以∠BAC=45°, 即二面角B⁃PA⁃C的平面角的度数为45°。 (4)