8.6.2 第1课时 直线与平面垂直的判定-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

8.6.2　直线与平面垂直 　　 木工要检查一根木棒是否与板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次,如图。如果两次检查时,曲尺的两边都分别与木棒和板面密合,便可以判定木棒与板面垂直。我们本节就是探讨直线与平面垂直。 借助长方体,通过直观感知、了解空间中直线与平面垂直的判定定理与性质定理。 第1课时　直线与平面垂直的判定 1.直线与平面垂直的定义 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直 记作 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面,它们唯一的公共点P叫做垂足。 画法 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 图示 垂线段与 点面距 过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离 2.直线与平面垂直的判定定理 文字表述 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直 符号表示 l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,a∩b=P⇒l⊥α 图示 3.直线与平面所成的角 有关概念 图示 斜线 一条直线l与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线 斜足 斜线和平面的交点A叫做斜足 射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影 直线与 平面所 成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角。 一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0° 取值 范围 0°≤θ≤90° 微提醒 (1)直线与平面垂直的定义中,强调“任意一条”,而不是“存在一条”或“无数条直线”。(2)线面垂直的判定定理中,强调“两条相交直线”而不是“两条平行直线”。(3)直线与平面所成的角中强调的是“斜线与射影所成的角”,而不是其他的角。 微思考 1.如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面吗? 提示:垂直。 2.在直线和平面所成角的定义中,点P是唯一的点吗?斜线在平面内的射影是一条线段吗? 提示:点P具有任意性,它是斜线上异于斜足A的任意点。斜线在平面α上的射影是一条直线,而不是一条线段,它是过斜足和垂足的一条直线。 类型一 直线与平面垂直的初步认识 　　【例1】　下列命题中,正确的是(C) A.若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α B.若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线 C.若直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直 D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α 解析　当l与α内的一条直线垂直时,不能保证l与平面α垂直,所以A不正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条平行直线垂直,所以B不正确,C正确;若l在α内,l也可以和α内的无数条直线垂直,故D错误。 (1)对于线面垂直的定义要注意“直线与平面内的任意一条直线都垂直”与“直线垂直于平面内无数条直线”的说法不同,后者是不正确的,它可以使直线与平面斜交。(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线。 【变式训练】　(1)若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于(C) A.平面OAB B.平面OAC C.平面OBC D.平面ABC 解析　因为OA⊥OB,OA⊥OC,OB∩OC=O,OB,OC⊂平面OBC,所以OA⊥平面OBC。故选C。 (2)如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正五边形的两边。能保证该直线与平面垂直的是 ①③④ (填序号)。  解析　根据直线与平面垂直的判定定理,平面内这两条直线必须是相交的,①③④中给定的两直线一定相交,能保证直线与平面垂直。而②中梯形的两边可能是上、下底边,它们互相平行,不满足定理条件。故填①③④。 类型二 直线与平面垂直的判定与证明 　　【例2】　如图,在三棱锥S􀆼ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,且SA=SB=SC。 (1)求证:SD⊥平面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC。 证明　(1)因为SA=SC,D是AC的中点, 所以SD⊥AC。 在Rt△ABC中,AD=BD, 由已知SA=SB, 所以△ADS≌△BDS, 所以SD⊥BD。又AC∩BD=D, 所以SD⊥平面ABC。 (2)因为AB=BC,D为AC的中点, 所以BD⊥AC。 由(1)知SD⊥BD。 又因为SD∩AC=D, 所以BD⊥平面SAC。 利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤:(1)在这个平面内