8.6.1 直线与直线垂直-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

8.6　空间直线、平面的垂直 8.6.1　直线与直线垂直 　　 观察右面图形。在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中直线A1C1与直线AB,直线A1D1与直线AB都是异面直线,直线A1C1与A1D1相对于直线AB的位置相同吗? 从直线与直线位置关系定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线垂直的关系。 1.异面直线所成的角 已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)。 2.直线与直线垂直 (1)如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条异面直线互相垂直。直线a与直线b垂直,记作a⊥b。 (2)空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°。 微提醒 研究异面直线所成的角,就是通过平移把异面直线转化为相交直线。这是研究空间图形的一种基本思路,即把空间图形问题转化为平面图形问题。 微思考 1.异面直线垂直与平面内两条直线垂直有何异同? 提示:相同点是所成的角都是90°,不同点是异面直线垂直没有交点,平面内两条直线垂直有公共点。 2.若直线a与直线b是异面直线,直线a'∥a,直线b'∥b,且a'与b'相交所成的钝角是135°,那么a与b所成的角也是135°,对吗? 提示:不对,异面直线a与b所成的角是45°。 类型一 异面直线所成的角 　　【例1】　如图,在正方体ABCD⁃EF GH中,O为侧面ADHE的中心,求: (1)BE与CG所成的角; (2)F O与BD所成的角。 解　(1)因为CG∥F B,所以∠EBF 是异面直线BE与CG所成的角。 在Rt△EF B中,EF =F B, 所以∠EBF =45°, 所以BE与CG所成的角为45°。 (2)连接F H, 因为F B∥AE,F B=AE,AE∥HD,AE=HD, 所以F B=HD,F B∥HD, 所以四边形F BDH是平行四边形, 所以BD∥F H, 所以∠HF O是F O与BD所成的角,连接HA,AF , 则△AF H是等边三角形, 又O是AH的中点,所以∠HF O=30°, 所以F O与BD所成的角为30°。 求两异面直线所成的角的三个步骤:(1)作:根据异面直线所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角;(2)证:证明作出的角就是所要求的角;(3)计算:求角的值,常利用解三角形得出。可用“一作二证三计算”来概括。同时注意异面直线所成角的取值范围是0°<θ≤90°。 【变式训练】　在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成的角为30°,E,F 分别为BC,AD的中点,求EF 与AB所成角的大小。 解　如图所示,取AC的中点G,连接EG,F G, 则EG∥AB且EG=AB, GF ∥ CD且GF =CD。 由AB=CD,知EG=F G,从而可知∠GEF 为EF 与AB所成的角,∠EGF 或其补角为AB与CD所成的角。 因为AB与CD所成的角为30°, 所以∠EGF =30°或150°, 由EG=F G知△EF G为等腰三角形, 当∠EGF =30°时,∠GEF =75°; 当∠EGF =150°时,∠GEF =15°, 故EF 与AB所成角的大小为15°或75°。 类型二 利用异面直线所成的角证明线线垂直 　　【例2】　在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AC⊥BC,求证:AC⊥BC1。 证明　如图,连接A1B,设A1C1=a,B1C1=b,AA1=h,因为三棱柱ABC⁃A1B1C1是直三棱柱, 所以∠BB1C1=∠A1AB=90°, 所以B=b2+h2,AB2=a2+b2, 所以A1B2=a2+b2+h2, 所以A1B2=A1+B, 则A1C1⊥BC1,即∠A1C1B=90°。 又因为AC∥A1C1, 所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角, 所以AC⊥BC1。 证明两异面直线垂直的步骤:(1)作出两异面直线所成的角。(2)求出两异面直线所成角的余弦值或在特殊三角形中说明垂直关系。(3)得出结论。 【变式训练】　如图,已知在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=AD=AA1,点P,M分别是AA1,CC1的中点,求证B1M⊥D1P。 证明　取DD1的中点N,连接A1N,PN,则直线A1N,D1P所成的角即为直线B1M,D1P所成的角,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=AD=AA1,所以四边形A1PND1是正方形,所以A1N⊥D1P,所以B1M⊥D1P。 类型三 异面直线所成角的应用 　　【例3】　在四面体ABCD中,E,F 分别是AB,CD的中点。若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=1,则EF 的长为 或 。  解析　如图,取BC的中点O,连接OE,OF 。因为E,F 分别是AB,