8.5.3 平面与平面平行-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

8.5.3　平面与平面平行 　　 上海世界博览会的中国国家馆被永久保留。中国国家馆表达了“东方之冠,鼎盛中华,天下粮仓,富庶百姓”的中国文化的精神与气质,展馆共分三层,这三层给人以平行平面的感觉。 1.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观图感知,了解空间中平面与平面的平行关系。 2.归纳出平面与平面平行的判定定理、性质定理,并加以证明。 1.平面与平面平行的判定定理 文字表述 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行 符号表示 a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒β∥α 图示 2.两平面平行的性质定理 文字表述 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行 符号表示 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b 图示 微提醒 (1)判定定理简记为“线面平行,则面面平行”。(2)判定定理中“两条直线相交”是必不可少的。(3)性质定理可简记为“若面面平行,则线线平行”。(4)性质定理中有两个条件:①两个平行平面;②第三个平面和这两个平面相交,这两个条件缺一不可。 微思考 1.若平面α∥平面β,点P∈α,a∥β且P∈a,那么一定有a⊂α吗? 提示:一定有。因为a∥β,α∥β,所以a∥α或a⊂α。又因为P∈a,P∈α,所以a⊂α。 2.面面平行还有哪些性质? 提示:(1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行。 (2)夹在两平行平面之间的平行线段相等。 (3)两个平面平行,其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离相等。 类型一 平面与平面平行的判定 　　【例1】　如图,已知在四棱锥P􀆼ABCD中,底面ABCD是正方形,△PAD为等边三角形,E为PC的中点,M为AB的中点,N为AC与BD的交点。 (1)求证:PA∥平面EBD; (2)求证:平面NME∥平面PAD。 证明　(1)由题意,知E为PC的中点,N为AC的中点, 所以NE为△PAC的中位线,所以PA∥NE。 又因为NE⊂平面EBD,PA⊄平面EBD, 所以PA∥平面EBD。 (2)由(1),知PA∥NE。 因为PA⊂平面PAD,NE⊄平面PAD, 所以NE∥平面PAD。 由M为AB的中点,N为BD的中点,得NM∥AD。 因为AD⊂平面PAD,MN⊄平面PAD, 所以MN∥平面PAD。 又因为MN⊂平面NME,NE⊂平面NME, 且MN∩NE=N, 所以平面NME∥平面PAD。 平面与平面平行的判定方法:(1)定义法:两个平面没有公共点。(2)判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面。(3)转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行,则α∥β。(4)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ。 【变式训练】　如图所示,在三棱锥S􀆼ABC中,D,E,F 分别是棱AC,BC,SC的中点,求证:平面DEF ∥平面SAB。 证明　因为D,E分别是棱AC,BC的中点, 所以DE是△ABC的中位线,DE∥AB。 因为DE⊄平面SAB,AB⊂平面SAB, 所以DE∥平面SAB, 同理可证DF ∥平面SAB, 又因为DE∩DF =D,DE⊂平面DEF , DF ⊂平面DEF , 所以平面DEF ∥平面SAB。 类型二 平面与平面平行性质定理的应用 　　命题方向1:证明线线平行 【例2】　如图,四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,四边形ABCD为梯形,AD∥BC,且AD=2BC。过A1,C,D三点的平面记为α,BB1与α的交点为Q。证明:Q为BB1的中点。 证明　因为BQ∥AA1,BQ⊄平面A1AD,AA1⊂平面A1AD,所以BQ∥平面A1AD,同理可知BC∥平面A1AD, 又BC∩BQ=B,BC⊂平面BQC,BQ⊂平面BQC,所以平面BQC∥平面A1AD。 从而平面α与这两个平面的交线互相平行,即QC∥A1D。 故△QBC与△A1AD的对应边互相平行,于是△QBC∽△A1AD。 所以===,即Q为BB1的中点。 利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤:(1)找两个平面,使这两个平面分别经过这两条直线中的一条。(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)。(3)找一个平面,使这两条直线都在这个平面上。(4)由定理得出结论。 【变式训练】　如图,在三棱锥P􀆼ABC中,D,E,F 分别是PA,PB,PC的中点,M是AB上一点,连接MC,N是PM与DE的交点,连接NF ,求证:NF ∥CM。 证明　因为D,E分别是PA,PB的中点, 所以DE∥AB。 又DE⊄平面ABC,AB⊂平面ABC, 所以DE∥平面ABC, 同理DF ∥平面ABC, 且DE∩DF =D,DE⊂平面DEF ,DF ⊂平面DEF , 所