8.5.2 直线与平面平行-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

8.5.2　直线与平面平行 直线与平面的平行关系是一种非常重要的关系,观察生活中的许多现象会发现存在着大量的平行关系。如放在桌面上的一本书,翻动书的封面,则封面边缘所在直线l与桌面所在的平面平行。 1.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与平面的关系。 2.归纳出直线与平面平行的判定定理和性质定理,并加以证明。 1.直线与平面平行的判定定理 文字表述 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行 符号表示 ⇒a∥α 图示 2.直线与平面平行的性质定理 文字 表述 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行 符号 表示 a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b 图示 微思考 1.一条直线与平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面一定平行吗? 提示:不一定,直线也可能在平面内。 2.若直线l与平面α平行,则过直线l与平面α相交的平面有多少个?它们与平面α的交线之间有什么关系? 提示:无数个,它们的交线互相平行。 类型一 直线与平面平行的判定与证明 　　【例1】　如图,三棱柱ABC⁃A1B1C1中,D,E,F 分别为棱AB,BC,C1B1的中点。 (1)求证:AC∥平面B1DE; (2)求证:AF ∥平面B1DE。 证明　(1)在△ABC中,D,E分别为棱AB,BC的中点, 所以DE∥AC。 因为DE⊂平面B1DE,AC⊄平面B1DE, 所以AC∥平面B1DE。 (2)如图,连接BF 交B1E于点G,连接DG。 因为点E,F 分别是BC,B1C1的中点, 所以B1F 􀰿EC,所以四边形ECF B1是平行四边形, 所以B1E∥F C,因为点E是BC的中点, 所以点G是BF 的中点, 又因为D是AB的中点,所以DG∥AF , 因为AF ⊄平面B1DE,DG⊂平面B1DE, 所以AF ∥平面B1DE。 由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的顺序是:在平面内寻找直线的平行线;证明这两条直线平行;由判定定理得出结论。 【变式训练】　如图,在斜三棱柱ABC⁃A1B1C1中,CA=CB,D,E分别是AB,B1C的中点。求证:DE∥平面ACC1A1。 证明　证法一:连接BC1,AC1,因为ABC⁃A1B1C1是斜三棱柱,所以四边形BCC1B1为平行四边形,由平行四边形性质得点E也是BC1的中点, 因为点D是AB的中点,所以DE∥AC1, 又DE⊄平面ACC1A1, AC1⊂平面ACC1A1, 所以DE∥平面ACC1A1。 证法二:连接A1C,AC1交于点O,连接OE, 则O是A1C的中点,又E是B1C的中点, 所以OE∥A1B1,OE=A1B1, 又AD∥A1B1,AD=A1B1, 所以OE􀰿AD, 所以四边形ADEO是平行四边形, 所以AO∥DE,因为AO⊂平面ACC1A1, DE⊄平面ACC1A1, 所以DE∥平面ACC1A1。 类型二 直线与平面平行性质定理的应用 【例2】　如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F 分别是棱AA1和BB1的中点,过EF 的平面EF GH分别交BC和AD于点G,H,求证:AB∥GH。 证明　因为E,F 分别是AA1和BB1的中点,所以EF ∥AB。 又AB⊄平面EF GH,EF ⊂平面EF GH, 所以AB∥平面EF GH。 又AB⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面EF GH=GH, 所以AB∥GH。 关于线面平行性质定理的应用:(1)如果题目中存在线面平行的条件,寻找或作出交线是前提,也是关键。(2)对应画线问题,要根据线面平行,确定出平行的直线后画出。 【变式训练】　如图所示,已知两条异面直线AB与CD,平面MNPQ与AB,CD都平行,且点M,N,P,Q依次在线段AC,BC,BD,AD上,求证:四边形MNPQ是平行四边形。 证明　因为AB∥平面MNPQ,且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN,所以AB∥MN。 又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ, 所以AB∥PQ,所以MN∥PQ。 同理可证NP∥MQ。 所以四边形MNPQ为平行四边形。 类型三 线面平行中的探索性问题 【例3】　如图,在三棱柱ABC⁃A1B1C1中,点E,F 分别是棱CC1,BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2F B=2,若MB∥平面AEF ,试判断点M在何位置。 解　若MB∥平面AEF ,过F ,B,M作平面F BMN交AE于N,连接MN,NF 。 因为BF ∥平面AA1C1C,BF ⊂平面F BMN,平面F BMN∩平面AA1C1C=MN, 所以BF ∥MN。 又MB∥平面AEF ,MB⊂平面F BMN, 平面F BMN∩平面AEF =F N, 所以MB∥F N,