8.5.1 直线与直线平行-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

8.5　空间直线、平面的平行 8.5.1　直线与直线平行 在生活中,注意到门扇的两边是平行的,当门扇绕着一边转动时,转动的一边在不同的位置就会有不同的直线。这些直线有什么关系? 1.了解基本事实4和定理。 2.借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线平行的关系。 1.基本事实4 文字表述 平行于同一条直线的两条直线平行 图示 　a b 　c 符号表示 直线a,b,c,a∥b,b∥c⇒a∥c 说明 基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性 2.定理 文字表述 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 图示 符号表示 OA∥O'A',OB∥O'B'⇒∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180° 作用 判断或证明两个角相等或互补 微提醒 定理可以推广为:如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等。 微思考 1.基本事实4的实质及作用是什么? 提示:实质上是说平行具有传递性;作用是判断空间两条直线平行的依据。 2.若已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',那么∠B'A'C'可能是多少? 提示:30°或150°。 类型一 基本事实4的应用 　　【例1】　(1)如图所示,在长方体木块ABCD􀆼A1B1C1D1中,E,F 分别是B1O和C1O的中点,则长方体的各棱中与EF 平行的有(B) A.3条 B.4条 C.5条 D.6条 解析　由于E,F 分别是B1O,C1O的中点,故EF ∥B1C1,因为和棱B1C1平行的棱还有3条:AD,BC,A1D1,所以共有4条。 (2)如图,梯形ABCD中,AB∥CD,E,F 分别为BC和AD的中点,将平面DCEF 沿EF 翻折起来,使CD到C'D'的位置,G,H分别为AD'和BC'的中点,求证:四边形EF GH为平行四边形。 证明　因为梯形ABCD中,AB∥CD,E,F 分别为BC,AD的中点, 所以EF ∥AB且EF =(AB+CD)。 又C'D'∥EF ,EF ∥AB,所以C'D'∥AB。 因为G,H分别为AD',BC'的中点, 所以GH∥AB且GH=(AB+C'D')=(AB+CD), 所以GH􀰿EF ,所以四边形EF GH为平行四边形。 证明空间两条直线平行的方法:(1)平面几何法:三角形中位线、平行四边形的性质等。(2)定义法:用定义证明两条直线平行,要证明两个方面:一是两条直线在同一平面内;二是两条直线没有公共点。 【变式训练】　如图,已知E,F 分别是正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱AA1,CC1的中点,求证:四边形EBF D1是菱形。 证明　如图所示,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,取棱BB1的中点G,连接C1G,EG。 因为E,G分别为棱AA1,BB1的中点, 所以EG􀰿A1B1。 又A1B1􀰿C1D1,所以EG􀰿C1D1, 从而四边形EGC1D1为平行四边形, 所以D1E􀰿C1G。 因为F ,G分别为棱CC1,BB1的中点, 所以C1F 􀰿BG, 从而四边形BGC1F 为平行四边形, 所以BF 􀰿C1G, 又D1E􀰿C1G,所以D1E􀰿BF , 从而四边形EBF D1为平行四边形。 不妨设正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为a,易知BE=BF =a, 故平行四边形EBF D1是菱形。 类型二 等角定理的应用 【例2】　如图,不共面的三条直线a,b,c交于点O,在点O的同侧分别取点A和A1,B和B1,C和C1,使得=,=。求证:△ABC∽△A1B1C1。 证明　因为=,=, 所以==。 则在平面OAB和平面OAC中, 有A1B1∥AB,A1C1∥AC。 又显然∠BAC和∠B1A1C1的方向相同, 所以∠BAC=∠B1A1C1。 同理,∠ABC=∠A1B1C1。 所以△ABC∽△A1B1C1。 证明两个角相等的方法:(1)利用等角定理。(2)利用三角形全等或相似。 【变式训练】　如图,已知线段AA1,BB1,CC1交于O点,且==,求证:△ABC∽△A1B1C1。 证明　因为AA1与BB1交于点O, 且=, 所以A1B1∥AB, 同理A1C1∥AC,B1C1∥BC, 又因为A1B1和AB方向相反,A1C1和AC方向相反, 所以∠BAC=∠B1A1C1, 同理∠ABC=∠A1B1C1, 所以△ABC∽△A1B1C1。 类型三 线线平行的应用 【例3】　如图所示,四边形ABEF 和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠F AB=90°,BC􀰿AD,BE􀰿F A,G,H分别为F A,F D的中点。 (1)证明:四边形BCHG是平行四边形; (2)C,D,F ,E四点是否共面?为什么? 解　(1