8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 我们日常生活中经常看到飞机在天空中翱翔,有时也乘坐飞机体验像鸟一样飞翔的感觉。飞机航线所在直线与地面有哪些位置关系呢? 借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义。 1.空间中直线与直线的位置关系 (1)异面直线的定义和画法。 ①定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 ②画法:如果直线a,b为异面直线,为了表示它们不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面衬托。 (2)空间中直线与直线的位置关系。 位置关系 是否在同一平面内 公共点个数 共面 直线 相交直线 是 1 平行直线 是 0 异面直线 否 0 2.空间中直线与平面的位置关系 位置关系 定义 图示 符号表示 直线在 平面内 有无数个公共点 a⊂α 直线与 平面相交 有且只有一个公共点 a∩α=A 直线与 平面平行 没有公共点 a∥α 3.空间中平面与平面的位置关系 位置关系 图示 符号表示 公共点 两个平面平行 α∥β 没有公 共点 两个平面相交 α∩β=l 有一条 公共直 线 微提醒 异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件。异面直线既不相交,也不平行。 微思考 1.直线a与平面α平行,直线b⊂α,则a与b有怎样的位置关系? 提示:a与b平行或异面,如图所示。 2.如果平面α与平面β平行,直线a⊂α,直线b⊂β,那么a与b的位置关系是什么? 提示:a与b平行或异面,如图所示。 类型一 空间中直线与直线的位置关系 　　【例1】　(1)在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,判断下列直线间的位置关系: ①直线A1B与直线D1C 平行 ;  ②直线A1B与直线B1C 异面 ;  ③直线D1D与直线CE(E为线段C1D1的中点) 相交 ;  ④直线AB与直线B1C 异面 。  (2)已知三条直线a,b,c,a与b异面,b与c异面,则a与c有什么样的位置关系?并画图说明。 解　直线a与c的位置关系有三种情况,如图所示。直线a与c可能平行,如图①;可能相交,如图②;可能异面,如图③。 判定两条直线是异面直线的方法:(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内;(2)排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交);(3)重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。如图,A∉α,B∈α,l⊂α,B∉l⇒直线AB与l是异面直线。 【变式训练】　(1)已知a,b是异面直线,直线c∥直线a,那么c与b(C) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 (2)正方体ABCD⁃A1B1C1D1中和AB平行的棱有 A1B1,CD,C1D1 ;和AB异面的棱有 CC1,DD1,A1D1,B1C1 。  类型二 空间中直线与平面的位置关系 　　【例2】　简述下列问题的结论,并画图说明。 (1)直线a⊂α,直线b∩a=A,则b与α的位置关系如何? (2)直线a⊂α,直线b∥a,则b与α的位置关系如何? 解　(1)由图①可知b⊂α,由图②可知b∩α=A。 (2)由图③可知b∥α,由图④可知b⊂α。 在判断直线与平面的位置关系时,三种情形都要考虑到,避免疏忽或遗漏。另外,我们可以借助空间几何图形,把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中,以便于正确作出判断,避免凭空臆断。 【变式训练】　下列说法中正确的是(D) A.若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α B.若直线a在平面α外,则a∥α C.若直线a∥b,b⊂α,则a∥α D.若直线a∥b,b⊂α,那么直线a平行于平面α内的无数条直线 解析　对于A,因为直线l虽与平面α内无数条直线平行,但l有可能在平面α内,所以l不一定平行于α,A错误;对于B,因为直线a在平面α外包括两种情况:a∥α和a与α相交,所以a和α不一定平行,B错误;对于C,直线a∥b,b⊂α,只能说明a和b没有公共点,a可能在平面α内,所以a不一定平行于α,C错误;对于D,因为a∥b,b⊂α,那么a⊂α或a∥α,a与平面α内的无数条直线平行,D正确。 类型三 空间中平面与平面的位置关系 　　【例3】　α,β是两个不重合的平面,下面说法中正确的是(D) A.平面α内有两条直线a,b都与平面β平行,那么α∥β B.平面α内有无数条直线平行于平面β,那么α∥β C.若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥β D.平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β 解析　A,B都不能保证α,β无公共点,如图①所示;C中当a∥α,a∥β时,α与β可能相交,如图②