8.4.1 平面-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1　平面 　　同学们在生活中都有这样的常识,停自行车时, 要打开脚撑。结合数学知识谈谈为什么打开脚撑后自行车就能停稳呢。 1.借助日常生活中的实物,在直观认识空间点、直线、平面的基础上,抽象出空间点、直线、平面概念。 2.了解基本事实和确定平面的推论。 1.平面的概念 (1)平面的概念。 几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、平静的水面这样的一些物体中抽象出来的。几何里的平面是向四周无限延展的。 (2)平面的画法。 ①一般常用矩形的直观图,即平行四边形表示平面。当平面水平放置时,常把平行四边形的一边画成横向,如图①;当平面竖直放置时,常把平行四边形的一边画成竖向,如图②。 ②在画两个相交平面时,如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住,通常把被挡住的部分画成虚线或不画,这样可使画出的图形立体感更强一些,如图③。 (3)平面的表示法。 图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD。 2.平面的基本性质 (1)三个基本事实。 内容 图示 符号 作用 过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线⇒存在唯一的α使A,B,C∈α 用来确定一个平面 如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α 用来证明直线在平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l 用来证明空间的点共线和线共点 (2)三个推论。 推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。如图①。 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。如图②。 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。如图③。 微思考 1.平面可以度量吗? 提示:几何里所说的平面是从现实物体中抽象出来的,是无限延展的。因此是无法度量的。 2.直线和平面都是由点组成的,联系集合的观点,点和直线、平面的位置关系,如何用符号来表示?直线和平面呢? 提示:点和直线、平面的位置关系可用数学符号“∈”或“∉”表示,直线和平面的位置关系,可用数学符号“⊂”或“⊄”表示。 类型一 平面的概念及表示 　　【例1】　(1)下列说法是否正确?并说明理由。 ①平面的形状是平行四边形; ②圆和平面多边形都可以表示平面; ③一个平面长10 m,宽5 m; ④空间图形中先画的线是实线,后画的线是虚线。 解　①不正确。平面是无限延展的,不计大小,不计面积,而平行四边形是平面的一部分,它是不能无限延展的。 ②正确。圆和平面多边形都是平面图形,可以用它们来表示平面。 ③不正确。平面是无限延展的,没有大小,不可度量。 ④不正确。空间图形中, 能够看得见的线画成实线,看不见的线画成虚线(无论是题中原有的,还是后引的辅助线)。 (2)(多选)下列图形中正确的是(ABC) 　(1)平面与平面图形是有本质差异的两个几何概念,一般地,前者是抽象的,是一个虽看不见、摸不着但可以想到的概念;而后者是一个与现实生活非常接近的数学概念,平面是最基本的几何概念,对它只加以描述而不定义。(2)平面的画法:①水平平面,通常把锐角画成45°,横边等于邻边的两倍。②非水平平面,画成平行四边形。③直立的平面,一组对边为铅垂线。 【变式训练】　(1)判断下列说法是否正确?并说明理由。 ①平行四边形是一个平面; ②任何一个平面图形都是一个平面; ③用平行四边形表示的平面,以四边为边界。 解　①不正确。平面是无限延展的,而平行四边形是有限的,它只是平面的一部分。 ②不正确。平面图形和平面是完全不同的概念。平面图形有的(如角)也可以无限延展,但不可能向四周无限延展。 ③不正确。平面是没有边界的。 (2)如图所示,用符号语言可表述为(A) A.α∩β=m,n⊂α,m∩n=A B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A C.α∩β=m,n⊂α,A⊂m,A⊂n D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n 解析　由图知平面α与平面β相交于直线m,直线n在α内,直线m与n相交于A点。故A成立。 类型二 平面基本事实的应用 　　命题方向1:共面问题 【例2】　如图,已知a⊂α,b⊂α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ⊂α。 证明　因为PQ∥a,所以PQ与a确定一个平面β,所以直线a⊂β,点P∈β。因为P∈b,b⊂α,所以P∈α。又因为a⊂α,P∉a,所以α与β重合,所以PQ⊂α。 点线共面问题是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题,主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论。解决该类问题通常有三种方法:①纳入平面法,先由部分元素确定一个平面,再证其他元素也在该平面内;②辅助平面法(平面