8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 　　 如图,一个圆锥形空杯子上放着一个半球形的冰激凌。如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗? 知道球、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题。 1.圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 图示 表面积和体积 圆柱 S圆柱=2πr(r+l)(r是底面半径,l是母线长) V圆柱=πr2h(r是底面半径,h是高) 圆锥 S圆锥=πr(r+l)(r是底面半径,l是母线长) V圆锥=πr2h(r是底面半径,h是高) 圆台 S圆台=π(r'2+r2+r'l+rl)(r',r分别是上、下底面半径,l是母线长) V圆台=πh(r'2+r'r+r2)(r',r分别是上、下底面半径,h是高) 2.柱体、锥体、台体的体积公式 V柱体=Sh(S为底面积,h为柱体高); V锥体=Sh(S为底面积,h为锥体高); V台体=(S'++S)h(S',S分别为上、下底面面积,h为台体高)。 3.球的表面积与体积公式 前提条件 球的半径为R 球的表面积公式 S球=4πR2 球的体积公式 V球=πR3 球的表面积公式 与体积公式的联系 V球=S球R 微提醒 (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积即是其侧面展开图的面积;(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积是其侧面积与底面面积之和。 微思考 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系? 提示:圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系:S圆柱侧=2πrlS圆台侧=π(r'+r)lS圆锥侧=πrl。 2.球面有没有展开图? 提示:球的表面是曲面,不能在一个平面上展开,即使是球面上任意小的一块,也不能在一个平面上展开,因此球没有展开图。 3.观察教材P118图8.3􀆼4,若半球的半径为r,圆柱的母线长为l,则浮标的体积是多少? 提示:πr3+πr2l。 类型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积 　　【例1】　(1)圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是(A) A.4πS B.2πS C.πS D.πS 解析　设圆柱的底面半径为r,则S=πr2,于是r=,底面周长为2π·,又因为侧面展开图为正方形,所以母线长l=2π·,故圆柱侧面积S侧=2πrl=2π··2π·=4πS。故选A。 (2)若圆锥的高为3,底面半径为4,则此圆锥的表面积为(B) A.40π B.36π C.26π D.20π 解析　圆锥的母线l==5,所以圆锥的表面积为π×42+π×4×5=36π。故选B。 (3)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,若母线长为10,则圆台的表面积为(C) A.81π B.100π C.168π D.169π 解析　圆台的轴截面如图所示,设上底面半径为r,下底面半径为R,则它的母线长为l===5r=10,所以r=2,R=8。故S侧=π(R+r)l= π(8+2)×10=100π,S表=S侧+πr2+πR2=100π+4π+64π=168π。故选C。 求旋转体侧面积及表面积的要点:(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素,因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键。(2)对于圆台问题,要重视“还台为锥”的思想方法。(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时,应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长,而求解这些未知量常常需要列方程。 【变式训练】　(1)已知一个圆柱的轴截面是面积为36的正方形,则这个圆柱的侧面积为(A) A.36π B.27π C.18π D.12π 解析　设底面圆的半径为r,则高为2r,由2r·2r=36,得r2=9,所以S侧=2πr·2r=4πr2=36π。故选A。 (2)圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°,求圆台的表面积。 解　如图所示,设圆台的上底面周长为c cm, 由于扇环的圆心角是180°, 则c=π·SA=2π×10, 解得SA=20(cm)。 同理可得SB=40(cm), 所以AB=SB-SA=20(cm)。 所以S表=S侧+S上+S下=π×(10+20)×20+π×102+π×202=1 100π(cm2)。 类型二 圆柱、圆锥、圆台的体积 　　【例2】　(1)已知某圆柱是将边长为2的正方形(及其内部)绕其一条边所在的直线旋转一周形成的,则该圆柱的体积为 8π 。  解析　因为圆柱是将边长为2的正方形(及其内部)绕其一条边所在的直线旋转一周形成的,所以该圆柱的高h=2,底面圆半径r=2,所以该圆柱的体积为V=πr2h=π×22×2=8π。 (2)对24小时内降落在平地上的积水厚度进行如下定义: 积水厚度/mm 0~10 10~25 25~50 50~100