8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

8.3　简单几何体的表面积与体积 8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 　　在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中,被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物。 在四千多年前生产工具很落后的中古时代,埃及人采集、搬运多而重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔。试想此金字塔所占空间的大小。 知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题。 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和。棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和。 2.棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V棱柱=Sh S为棱柱的底面积,h为棱柱的高 棱锥 V棱锥=Sh S为棱锥的底面积,h为棱锥的高 棱台 V棱台=h(S'++S) S',S分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高 微提醒 全面积是侧面积与底面面积之和。 微思考 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等? 提示:是。棱柱、棱锥、棱台的表面积就是几何体表面的面积,它表示几何体表面的大小。常把多面体展开成平面图形,利用平面图形求多面体的表面积。 2.如果沿不同的棱将多面体展开,那么得到的展开图相同吗?其面积还相等吗? 提示:由于剪开的棱不同,同一个几何体的表面展开图可能不相同。但是,不论怎么剪,同一个多面体的表面展开图的面积是一样的。 3.观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式V=Sh,V=Sh,V=h(S'++S)。它们之间有什么关系? 提示:棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系可以理解为 类型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 　　【例1】　(1)已知正四棱锥P⁃ABCD的高为,且AB=2,则正四棱锥P⁃ABCD的侧面积为(D) A.2 B.4 C.6 D.8 解析　设P在底面ABCD上的射影为O,则O为底面正方形ABCD的中心,取CD的中点E,连接OE,则OE=AB=1,所以PE==2,因为PC=PD,所以PE⊥CD,所以正四棱锥P􀆼ABCD的侧面积为4S△PCD=4××2×2=8。 (2)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥,底面边长为a时,该三棱锥的表面积是(A) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 解析　因为侧面都是等腰直角三角形,故侧棱长等于a,所以S表=a2+ 3××=a2。 (3)一个正四棱台,其上、下底面均为正方形,边长分别为8 cm和18 cm,侧棱长为13 cm,则这个正四棱台的侧面积为 624 cm2,表面积为 1 012 cm2。  解析　由已知可得正四棱台侧面梯形的高为h==12(cm),所以S侧=4××(8+18)×12=624(cm2),S上底=8×8=64(cm2),S下底=18×18=324(cm2),于是表面积为S=624+64+324=1 012 (cm2)。 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积的求法技巧:(1)求棱柱、棱锥及棱台的侧面积和表面积的关键是求底面边长、高、斜高、侧棱。求解时要注意直角三角形和梯形的应用。(2)正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等,因此求侧面积时,可先求一个侧面的面积,然后乘以侧面的个数。 【变式训练】　(1)已知长方体的表面积为11,十二条棱长度之和为24,则这个长方体的一条体对角线长为 5 。  解析　设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则长方体的表面积S=S侧+2S底=2(a+b)·c+2ab=11,即ab+bc+ca=　①,因为十二条棱长度之和为4(a+b+c)=24,即a+b+c=6　②,所以②2-2×①得a2+b2+c2=36-11=25,所以长方体的一条体对角线长为=5。 (2)正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x2-9x+18=0的两根,其侧面积等于两底面面积之和, 则其侧面梯形的高为  。  解析　方程x2-9x+18=0的两个根为x1=3,x2=6。设正四棱台侧面梯形的高为h',上、下底面周长分别为c,c',则c=12,c'=24,所以S正四棱台侧=(c+c')h'=×(12+24)h'=32+62,解得h'=。 类型二 棱柱、棱锥、棱台的体积 　　【例2】　(1)已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3,体对角线的长是2,则这个长方体的体积是(D) A.6 B.12 C.24 D.48 解析　设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x,2x,3x,又体对角线长为2,则x2+(2x)2+(3x)2=(2)2,解得x=2。所以三条棱长分别为2,4,6。所以V长方体=2×4×6=48。 (2)已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm,侧面积为780 cm2。求该正四棱台的体积。 解　如图所示,在正四棱台ABCD⁃A1B1C1D1