8.2 立体图形的直观图-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

8.2　立体图形的直观图 　　美术与数学,一个属于艺术,一个属于科学,看似毫无关系 ,但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系,在美术画图中,空间图形或实物在画板上画得既富有立体感,又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系。 能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图。 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 2.几何体直观图的画法规则 画几何体的直观图时,与画平面图形的直观图相比,只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴,并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变。 微提醒 (1)斜二测画法中,“斜”是指把直角坐标系xOy变为斜坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°(或135°);“二测”是指画直观图时,平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段长度减半。(2)斜二测画法的位置特征与度量特征简记为:横不变、纵折半,平行位置不改变。 微思考 1.(1)相等的角在直观图中还相等吗? (2)空间几何体的直观图是唯一的吗? 提示:(1)不一定,例如正方形的直观图为平行四边形。 (2)不唯一,作直观图时,由于选轴不同,画出的直观图也不相同。 2.观察教材图8.2􀆼4,线段A'F '与C'D',A'B'与E'D',B'C'与F 'E'分别是什么关系? ① ②　　 ③ 提示:相等且平行。 类型一 平面图形的直观图 　　【例1】　画水平放置的直角梯形(如图所示)的直观图。 解　(1)在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系。画相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,如图①②所示。 (2)在x'轴上截取O'B'=OB,在y'轴上截取O'D'=OD,过点D'作x'轴的平行线l,在l上沿x'轴正方向取点C'使得D'C'=DC。连接B'C',如图②。 (3)所得四边形O'B'C'D'就是直角梯形OBCD的直观图。如图③。 在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的直角坐标系是关键,一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上,以便于画点。原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段。 　　【变式训练】　画一个锐角为45°的平行四边形的直观图(尺寸自定)。 解　(1)画轴。如图①,建立平面直角坐标系xOy,作出∠A为45°的平行四边形ABCD。再建立坐标系x'O'y',其中∠x'O'y'=45°。 (2)描点。如图②,在x'轴上截取O'A'=OA,O'B'=OB,在y'轴上截取O'D'=OD,过点D'作D'C'∥x'轴,且D'C'=DC。 (3)连线。连接B'C',A'D'。 (4)成图。如图③,四边形A'B'C'D'即为一个锐角为45°的▱ABCD的直观图。 类型二 空间几何体的直观图 　　【例2】　画出底面是边长为1.2 cm的正方形,侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图。 解　(1)画轴。画x轴、y轴、z轴,∠xOy=45°(或135°),∠xOz=90°,如图①。 (2)画底面,以O为中心,在xOy平面内,画出正方形的直观图ABCD,使AB=1.2 cm,EF =0.6 cm。 (3)画顶点,在Oz轴上截取OP,使OP=1.5 cm。 ①　 ② (4)成图。顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图②。 画空间几何体的直观图的原则:(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz,并且把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面,再作z'轴与平面x'O'y'垂直。(2)作空间几何体的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x'轴的线段并且长度不变。(3)平行于y轴的线段画成平行于y'轴的线段,且线段长度画成原来的一半。(4)平行于z轴的线段画成平行于z'轴的线段并且长度不变。 【变式训练】　如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图。 解　由三视图可知该几何体是由一个四棱锥和一个四棱台构成的组合体,其直观图具体画法如下: (1)画轴。如图①,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°。 (2)画底面。由三视图知该几何体是一个简单组合体,它的下部是一个正四棱台,上部是一个正四棱锥,利用斜二测画法画出底面ABCD,在z轴上截取OO',使OO'等于三视图中相应高度,过O'作Ox的平行线O'x',Oy的平行线O'y',利用O'x'与O'y'画出上底面A'B'C'D'。 (3