13.2.2 空间两条直线的位置关系（四大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

13.2.2 空间两条直线的位置关系 课程标准 学习目标 （1）能借助长方体，通过直观感知、操作确认，得出空间两条直线的位置关系. （2）理解异面直线的定义及判定，能判断两条直线是不是异面直线. （1）会判断空间两条直线的位置关系. （2）能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题． （3）理解异面直线所成的角的概念． 知识点01 平行线的传递性 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号表示：a∥b，b∥c⇒a∥c． 【即学即练1】（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）下列命题中，真命题有（    ） ①如果两条相交直线与另外两条相交直线分别平行，那么这两条相交直线和另外两条相交直线所成的锐角或直角相等； ②如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ③分别在两个不同的平面内且没有公共点的直线互相平行； ④，若，，则或. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点02 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 【即学即练2】（2024·高二·上海长宁·期末）已知和且，则 ． 知识点03 异面直线 1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 2、画法： 3、两异面直线所成角的常用方法 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 【即学即练3】（2024·高一·河南周口·期末）如图，在三棱锥中，，都为等边三角形，，，M为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D．0 知识点04 空间两条直线的位置关系 位置关系 共面情况 有无公共点 相交 在同一平面内 有且只有一个公共点 平行 在同一平面内 没有公共点 异面 不同在任何一个平面内 没有公共点 【即学即练4】（2024·高二·黑龙江·学业考试）如图，在正方体中，与平行的是（    ） A． B． C． D． 题型一：基本事实4的应用 【典例1-1】（2024·全国·高一课时练习）已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形． 【典例1-2】（2024·全国·高一课时练习）如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行． 【变式1-1】（2024·全国·高一课时练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画?并说明理由. 【方法技巧与总结】（证明两直线平行的常用方法） （1）利用平面几何的结论，如平行四边形的对边，三角形的中位线与底边； （2）定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； （3）利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 题型二：等角定理的应用 【典例2-1】（2024·高一·新疆伊犁·期末）已知，的两边EF、FM分别平行于的两边AB与BC.则 ． 【典例2-2】（2024·高一·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知空间中两个角，，且角与角的两边分别平行，若，则 ． 【变式2-1】（2024·高一·广西玉林·期末）设与的两边分别平行，若，则 . 【变式2-2】（2024·高一·全国·课时练习）已知角的两边和角的两边分别平行且，则 . 【变式2-3】（2024·高一·江苏常州·阶段练习）已知空间中两个角，且，若，则 . 【方法技巧与总结】（应用等角定理的注意事项） 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．注意观察两角的方向是否相同，若相同，则两角相等；若不同，则两角互补． 题型三：直线与直线的位置关系 【典例3-1】（2024·高二·北京·学业考试）在空间中，若两条直线与没有公共点，则a与b（    ） A．相交 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 【典例3-2】（2024·高二·上海·期末）如果直线a和b没有公共点，那么a与b（　　） A．共面 B．平行 C．可能平行，也可能是异面直线 D．是异面直线 【变式3-1】（2024·高二·重庆铜梁·阶段练习）如图，在正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论：①直线AM与是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与是异面直线；④直线