极速提分发第8招巧用勾股定理求最短路径的长 练习课件 2023—2024学年沪科版数学八年级下册

第8招 巧用勾股定理求最短路径的长 沪科版 八年级下册 典 例 剖 析 如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁到蜂蜜的最短路线长． 例 极速提分法 典 例 剖 析 解题秘方：求最短路线长，就是将要求的路线长转化为两点之间或点到直线的距离来进行计算．转化是求最短路线长的核心步骤．本题利用化曲为直，即将圆柱侧面展开成平面图形，将最短路线长转化为两点之间的距离，再结合几何图形的相关知识进行求解． 极速提分法 解：如图，将圆柱侧面的一半展开，作CD⊥FA于D， 作A关于直线EF的对称点A′，连接A′C， 与EF交于B，连接AB，则AB＝A′B，故A→B→C为最短路线． 由题意知DC＝9 cm，FD＝8 cm，FA′＝4 cm. 在Rt△A′DC中，A′C2＝A′D2＋DC2＝ (FA′＋FD)2＋DC2＝(4＋8)2＋92＝225＝152， ∴A′C＝15 cm. ∵AB＋BC＝A′B＋BC＝A′C， ∴最短路线长为15 cm. 极速提分法 技巧 用计算法解决平面中的最短问题 1 分 类 训 练 1.某省将位于A，B两地(A地在B地的正西方向)的两所大学合并成一所综合大学，为了方便A，B两地师生的交往，学校准备在相距2 km的A，B两地之间修筑一条笔直的公路(如图中线段AB)． 极速提分法 经测量，在A地北偏东60°方向，B地北偏西45°方向的C处有一个半径为0.7 km的圆形公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？ 解：计划修筑的这条公路不会穿过公园． 理由如下： 如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D. 由∠CBE＝45°，易得∠BCD＝∠DBC＝45°. ∴CD＝BD. 极速提分法 极速提分法 技巧 用平移法求平面中的距离问题 2 分 类 训 练 2. 如图，小明在广场上先向东走10 m，又向南走40 m，再向西走20 m，又向南走40 m，最后向东走70 m．则小明到达的终点与出发点的距离是__________． 100 m 极速提分法 【点拨】 极速提分法 分 类 训 练 3. 技巧 用对称法求平面中的最短问题 3 极速提分法 向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需 2 000元，请你在河岸CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的最低总费用． 极速提分法 解：如图，作点A关于CD的对称点A′， 连接BA′交CD于点O，点O即为水厂的位置． 过点A′作A′E∥CD交BD的延长线于点E， 过点A作AF⊥BD于点F， 则AF＝A′E，DF＝AC＝2 km，DE＝A′C＝AC＝2 km. ∴BF＝BD－DF＝6－2＝4(km)． 极速提分法 极速提分法 分 类 训 练 类型1 圆柱中的最短问题 技巧 用展开法解决立体图形中的最短问题 4 4.有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到点B处(点A，B均在玻璃杯外部)，如图所示，已知杯子高8 cm，点B距杯口3 cm，杯子底面半径为4 cm.蚂蚁从A点爬到B点的最短路程为多少？(π取3) 极速提分法 解：此圆柱的侧面展开图为长方形ACDE，如图所示，其中AC的长为圆柱的底面周长，连接AB，则AB即为蚂蚁爬行的最短路径．过点B作BE′⊥AE于点E′. 极速提分法 极速提分法 【点方法】 “化曲为平”解决立体图形表面的最短路径问题的一般步骤：(1)根据题意把立体图形展开成平面图形；(2)根据“两点之间，线段最短”确定两点之间的最短路径；(3)构造直角三角形，运用勾股定理计算得到结果． 极速提分法 分 类 训 练 类型2 圆锥中的最短问题 圆锥 5.如图，观察图形解答下面的问题： (1)此图形的名称为________； (2)请你与同伴一起做一个这样的立体图形，并把它的侧面沿AS剪开，铺在桌面上，它的侧面展开图是一个________； 动手操作略． 扇形 极速提分法 (3)如果C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食物，且它只能绕此立体图形的侧面爬行一周到C处．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？ 解：把此立体图形的侧面展开， 如图所示，连接AC， 则AC为蜗牛爬行的最短路线． 极速提分法 (4)若SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程． 极速提分法 分 类 训 练 类型3 长方体中的最短问题 6.有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，其长AD＝ 80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，点G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫想从鱼