第05讲 乘法公式与整式的化简（6个知识点+6种题型+强化训练）-2023-2024学年七年级下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第05讲 乘法公式与整式的化简（6个知识点+6种题型+强化训练） 知识导图 知识清单 知识点1．完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点2．完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 知识点3．完全平方式 完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式． a2±2ab+b2＝（a±b）2 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）” 知识点4．平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 知识点5．平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 知识点6．整式的混合运算—化简求值 先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值． 有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似。 知识复习 一．完全平方公式（共6小题） 1．（2024•鹿城区校级开学）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2023春•余杭区月考）若、是某长方形的长和宽，且有，，则该长方形面积为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2023春•杭州月考）已知，． （1）求的值． （2）求的值． （3）求的值． 4．（2023春•上城区校级期中）（1）已知，，①求的值；②求的值； （2）若，求的值． 5．（2023春•柯桥区期末）已知，，则代数式的值为 　　． 6．（2023春•杭州期末）计算：已知：，，则　 　． 二．完全平方公式的几何背景（共6小题） 7．（2023春•金华期末）完全平方公式：，是多项式乘法中的重要公式之一，它经过适当变形可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：． 根据以上信息回答下列问题： （1）若，，求的值； （2）若，，求的值； （3）如图，点、分别是正方形的边与上的点，以、为边在正方形内部作面积为8的长方形，再分别以、为边作正方形和正方形．若图中阴影部分的面积为20，求长方形的周长． 8．（2023春•乐清市期中）有两个正方形、，将，并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为14与36，则正方形的面积为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2023春•柯桥区期中）如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，，表示四个相同长方形的两边长．则①；②；③；④中，正确的是　　 A．①③④ B．②④ C．①③ D．①②③④ 10．（2023春•宁波期末）已知，则　　；如图，在正方形中，，，长方形的面积为4，其中四边形，，均为正方形，则图中阴影部分的面积之和为 　　． 11．（2023春•上城区校级期中）一个正方形的边长增加，它的面积增加了，则原来这个正方形的面积为 　　． 12．（2023春•金华期末）如图①，长方形的边长分别为、，请认真观察图形，解答