19.3 课题学习 选择方案 讲义 2023—2024学年人教版数学八年级下册

►第十九章 一次函数 19.3 课题学习 选择方案 ■重点01 方案选择问题 【例题】（2023秋•贵池区期末）为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买型和型两种公交车，其中每辆的价格、年载客量如表： 型 型 价格（万元辆） 年载客量（万人年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． （1）求，的值； （2）计划购买型和型两种公交车共10辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次，问有几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，请用一次函数的性质说明哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？ 【答案】（1）的值为100，的值为150；（2）有4购买方案；（3）购车总费用最少的方案是购买型公交车9辆，购买型公交车1辆，购车总费用为1050万元． 【分析】（1）利用总价单价数量，结合“购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据购买型公交车8辆，型公交车2辆，设购买型公交车辆，则购买型公交车辆，根据“购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于720万人次”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数，即可得出的值，得出购买方案； （3）设购车总费用为万元，根据总费用购买两种公交车费用之和列出函数解析式，由函数的性质得出最值． 【解答】解：（1）依题意得： 答：的值为100，的值为150； （2）设购买型公交车辆，则购买型公交车 辆， 解得： 又为整数， 有4购买方案； 方案一：购买型公交车6辆，购买型公交车4辆； 方案二：购买型公交车7辆，购买型公交车3辆； 方案一：购买型公交车8辆，购买型公交车2辆； 方案二：购买型公交车9辆，购买型公交车1辆； （3）设购车总费用为万元， 则，且为整数） ， 随的增大而减小， 当时，最小，最小值为（万元）， 购车总费用最少的方案是购买型公交车9辆，购买型公交车1辆，购车总费用为1050万元． 解法揭秘 1．这类问题一般会综合应用一元一次不等式（组）、二元一次方程（组）、一次函数等知识，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组与不等式组，再根据一次函数的性质和自变量的取值范围求解． 2．在实际生活中，常见的选择方案类型有利润问题、效益问题、分配问题等． 3．所谓最佳方案，是指在某一问题中，符合条件的方案有多种，要求学生利用数学知识经过分析、猜想、判断筛选出最佳方案，此类题目往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、不等式、几何知识联系在一起．解答的关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，将其转化为函数模型． 4．运用一次函数选择最佳方案的步骤： （1）从数学的角度分析实际问题，建立函数模型（往往有两个或两个以上的模型）； （2）列出不等式（方程），求出自变量在取不同值时对应的函数值的大小关系； （3）结合实际需求，选择最佳方案． 5．方案最值问题： 对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案． 6．方法技巧 求最值的本质为求最优方案，解法有两种： （1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； （2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 显然，第（2）种方法更简单快捷． 闯关演练 【闯关1】　（2023秋•漳州期末）某校组织开展主题为“回顾党史，重温初心”的红色研学旅行．甲、乙两家旅行社原价均为150元人．甲旅行社的方案：所有人打8折；乙旅行社的方案：8人以内（含8人）按原价收费，超过的人数每人打6折．设参加研学旅行的人数为（人，甲旅行社所需总费用为（元，乙旅行社所需总费用为（元． （1）当时，求、与的函数表达式； （2）若有12人参加旅行，选择哪家旅行社更划算，请说明理由． 【闯关2】　（2023秋•大荔县期末）近年来，随着社会竞争的日益激烈，家长为使孩子不输在教育的起跑线上，不惜花费重金购置学区房．赵先生准备购买一套小户型学区房，他去某楼盘了解情况得知，该户型的单价是12000元面积如图所