7.4.1 二项分布知识点总结与题型专练讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

二项分布 目录 知识点1 n重伯努利试验及其特征 1 知识点2　二项分布 2 题型一：n重伯努利实验 3 题型二：独立事件 6 题型三：二项分布的概念 9 题型四：二项分布的性质 11 题型五：二项分布的均值和方差 16 题型六：二项分布的最值问题 18 题型七：二项分布在生产中的应用 20 题型八：二项分布在摸球中的应用 25 题型九：二项分布在检测中的应用 26 题型十：二项分布在比赛中的应用 32 题型十一：二项分布在销售中的应用 43 题型十二：二项分布在抽取人数中的应用 47 题型十三：二项分布在农业中的应用 51 知识点1 n重伯努利试验及其特征 1．n重伯努利试验的概念 将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次． (2)各次试验的结果相互独立． (3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生，这两种结果是对立的 注：1、在相同条件下，有放回地抽样试验是n重伯努利试验. 2、相互独立的概念 (1)相互独立的定义 设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)相互独立事件 事件A(或B)发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件． 3、相互独立的性质 若事件A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立． 4、相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 5.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路 (1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和． (2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件． (3)代入概率的积公式求解． 6．重伯努利试验的概率公式 一般地，如果在一次试验中事件发生的概率是,事件在次试验中发生次，共有种情形，由试验的独立性知，每种情形下，在次试验中发生，而在其余次试验中不发生的概率都是,所以由概率加法公式知，在重伯努利试验中，事件恰好发生次的概率为( ) . 知识点2　二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 注意：1、二项分布必须同时满足以下两个条件:①在一次试验中试验结果，只有与这两个，且事件A发生的概率为，事件发生的概率为；②试验可以独立重复地进行，即每次重复做一次试验，事件A发生的概率都是同一常数 ，事件发生的概率为 . 2、二项分布进行的随机试验是重复试验，所以每次抽取条件不变，可以理解为有放回抽样模型.而且每一次试验只有两个对立的结果或，称为伯努利试验. 3．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． 4．P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)． (2)若，则. 5、证明同(1)有，则 ， 所以，证毕. 因为在次独立重复试验中事件发生的概率为，所以可以理解为一次随机试验中事件平均发生次，则在次独立重复试验中事件平均发生次. 实例：一个袋中放有个红球，（）个白球，依次从袋中取个球，记下红球的个数 如果有放回地取，则～B（） 注：每一次取到红球的概率是相同的 所以，超几何分布与二项分布的本质区别就在于每一次试验中，事件A发生的概率是否相同，不同的是超几何分布，相同的是二项分布。 联系： 当抽取的方式从无放回变为有放回，超几何分布变为二项分布，当产品总数N很大时，超几何分布变为二项分布。独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似的看做此类型。 拓展：在实际问题中，哪些语言暗示每次试验事件A发生的概率相同？ “从流水线上抽取” “每次试验以事件A发生的频率近似作为概率等” 【题型归纳】 题型一：n重伯努利实验 例题1：下列事件不是n重伯努利试验的是(　　) A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标 例题2：有n位同学参加某项选拔测试，每位同学通过测试的概率都是p(0<p<1)，假设每位同学能否通过测试