期中复习专题06 特殊平行四边形中几种问题探究讲义2023-2024学年 人教版八年级数学 下册

◄ 专题06 特殊平行四边形中几种问题探究 ► 知识导学 几何中的探究性问题是在考试中比较常见的题型，开放性、操作性、探究性和综合性是其明显特征，涉及到三角形、四边形、全等、图形的变化等平面几何核心知识，有效考查“四基”、“四能”以及抽象能力、几何直观、空间观念、推理能力等核心素养. 导图导学 考向导学 ♫ 考向1 折叠问题 对点演练 1.（2023春•天宁区校级期中）如图，矩形沿对角线折叠，已知长，宽，那么折叠后重合部分的面积是　　 A． B． C． D． 【分析】由矩形的性质易得，那么可用表示出，利用直角三角形的三边关系即可求得长，然后乘以除以2即为阴影部分的面积． 【解答】解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 2.（2023春•中山市校级期中）如图，矩形中，点、分别为边、上两动点，且，，沿翻折矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点，则的最小值为　　 A． B． C． D．2 【答案】 【分析】连接，，，由翻折可得，则，要求的最小值，即求的最小值，以此得出当点与点重合时，最小，设，则，，根据勾股定理即可求解． 【解答】解：连接，，， 以翻折后，点与点重合， ，，， ， 四边形为矩形，， ， 当的最小时，最小， 由图可知，当点与点重合时，最小， 设，则，， 在中， ， ， 解得：， 的最小值为． 故选：． 3.（2023秋•青岛期末）一张矩形纸，将点翻折到对角线上的点处，折痕交于点．将点翻折到对角线上的点处，折痕交于点，折叠出四边形． （1）求证：； （2）当　　度时，四边形是菱形？说明理由． 【分析】（1）证出，即可得出； （2）证出四边形是平行四边形，再证出，即可得出四边形是菱形． 【解答】（1）证明：四边形为矩形， ， ， 由翻折知，，， ， ； （2）解：当时四边形为菱形，理由如下： 四边形是矩形， ，， 由（1）得：， 四边形是平行四边形， ， ． ， 由折叠的性质得， ， ， 四边形是菱形； 故答案为：30． 名师点拨 此类题型主要考查折叠变换和学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应利用折叠找到相应的直角三角形，利用勾股定理求得所需线段长度． ♫ 考向2 中点四边形 对点演练 1.（2024•平舆县一模）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，若一个四边形的中点四边形是一个菱形，则四边形一定满足　　 A．是菱形 B．对角线相等 C．对角线垂直 D．对角线互相平分 【答案】 【分析】如果中点四边形是菱形，那么原四边形的对角线必然相等，符合此条件的还有正方形或等腰梯形等． 【解答】解：四边形的中点四边形是一个菱形， 四边形的对角线一定相等，只要符合此条件即可， 故选：． 2.（2023•铜川一模）如图，、是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理得到，，，，，得到四边形为平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答即可． 【解答】解：、、、分别为、、、的中点， ，，，，， ，， 四边形为平行四边形， 当时，，则四边形为矩形， 故选：． 3.（2023春•敦化市校级期中）如图，在四边形中，、、、分别是、、、边上的中点，阅读下列材料， （1）连接、，由三角形中位线的性质定理可证四边形是 　　； （2）对角线、满足条件 　　时，四边形是矩形； （3）对角线、满足条件 　　时，四边形是菱形； （4）对角线、满足条件 　　时，四边形是正方形． （5）请你选择以上四个结论中的一个加以证明． 【答案】（1）平行四边形； （2）； （3）； （4），； （5）证明见解答过程． 【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得出结论； （2）根据矩形的判定定理解答； （3）根据菱形的判定定理解答； （4）根据正方形的判定定理解答； （5）根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理证明即可． 【解答】解：（1）连接、，由三角形中位线的性质定理可证四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （2）对角线、满足条件时，四边形是矩形， 故答案为：； （3）对角线、满足条件时，四边形是菱形， 故答案为：； （4）对角线、满足条件，时，四边形是正方形， 故答案为：，； （5）证明结论（1）， 、、、分别是、、、边上的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形． 名师点拨 判断一个四边形的中点四边形的形状．牢记下面的结论：中点四边形一定是平行四边形，当原来四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形，当原来四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形，当原来四边形的对角线垂直且相等时，中点四边形是正方形，就能轻