2023—2024学年人教版数学八年级下册期中复习专题04 勾股定理的实际应用讲义

◄ 专题04 勾股定理的实际应用 ► 知识导学 勾股定理的应用 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系．利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题．其主要应用如下： （1）已知直角三角形的任意两边求第三边； （2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； （3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题； （4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题． 导图导学 考向导学 ♫ 考向1 折树问题 对点演练 1.（2023秋•关岭县期末）如图，一棵树在离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为　　米． 【答案】9． 【分析】根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度． 【解答】解：如图，根据题意米， ， （米， （米． 故答案为：9． 2.（2023秋•莱州市期末）一棵大树在一次强台风中折断倒下，大树折断前高度估计为，倒下后树顶落在距树根部大约处．这棵大树离地面约　　米处折断． A． B． C． D． 【答案】 【分析】设这棵大树离地面约米处折断，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】解：设这棵大树离地面约米处折断， 根据题意得，， 解得， 答：这棵大树离地面约5米处折断， 3.（2023秋•运城期末）我国秦汉时期，数学成就十分显著．当时流传这样一个数学题：今有竹高十二尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原本高12尺，从某处折断，竹梢触地处离竹根3尺，试问折断处距离地　　 A．4.5 B．5.625 C．4 D．6.375 【答案】 【分析】根据勾股定理得出关于的方程，求出的值即可． 【解答】解：由题意知，尺，尺， ， 由勾股定理得，， 即， 解得， 折断处距离地5.625尺． 故选：． 名师点拨 在树的折断问题中，树与地面是垂直的，从而得到了直角三角形，通过设未知数分别表示各未知边的长度，然后利用勾股定理即可求解. ♫ 考向2 “池塘里的芦苇”问题 对点演练 1.（2023秋•滨州期末）如图有一个水池，水面的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是　　 A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺 【答案】 【分析】先设水池的深度为尺，则这根芦苇的长度为尺，根据勾股定理可得方程，再解即可． 【解答】解：设水池的深度为尺，由题意得： ， 解得：， 所以． 即：这个芦苇的高度是17尺． 故选：． 2.（2023秋•吉州区期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差． 【解答】解：根据题意可得图形：，， 在中：， 所以，． 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在之间． 观察选项，只有选项符合题意． 故选：． 3.（2023秋•邓州市期末）将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是　　 A．h≤19 B．11≤h≤19 C．12≤h≤19 D．13≤h≤19 【答案】 【分析】当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后根据勾股定理求出的长，即可解决问题． 【解答】解：如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长， 此时， 当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ， 此时， 所以的取值范围是11≤h≤19． 故选：． 名师点拨 解决此类问题，首先要读懂题意，还要有生活常识，比如：什么时候筷子露在杯子外面的长度最长？什么时候筷子露在杯子外面的长度最短？ ♫ 考向3 最短路径问题 对点演练 1.（2023春•合肥期中）如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是　　． 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【解答】解：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为， 蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 故答案为25． 2.（2023春•岚山区期中）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好