2023—2024学年人教版数学八年级下册期中复习专题03 勾股定理及逆定理（四大特殊题型）讲义

◄ 专题03 勾股定理及逆定理（四大特殊题型） ► 知识导学 1．勾股定理 勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：． 【注意】（1）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2． （2）如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 2．勾股定理的证明 在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理． 对于勾股定理的证明，现在世界上已找出很多种运用图形的割、移、补、拼构造特殊图形，并根据面积之间的关系进行推导的方法，著名的证法有赵爽“勾股圆方图”（“赵爽弦图”）、刘徽（“青朱出入图”）、加菲尔德总统拼图、毕达哥拉斯拼图等． 3.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，我们称它为勾股定理的逆定理． 【注意】（1）若用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形，那么其中最长边所对的角是直角．不能机械地认为c边所对的角必是直角，例如：若a2-b2=c2，则a边所对的角是直角． （2）勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角形是直角三角形”，在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”，较短的两边为“直角边”． 4．勾股数 （1）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即a2+b2=c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数． （2）意义：某些三角形能根据勾股数快速判断是否为直角三角形． （3）常见的勾股数： 如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有a2=b2+c2，那么a，b，c为一组勾股数．如3为大于1的奇数，4，5为两个连续自然数，且32=42+52，则3，4，5为一组勾股数，还有：5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，60，61；…． 导图导学 考向导学 ♫ 考向1 勾股定理及逆定理的运用 对点演练 1.（2023秋•青山区期末）的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是　　 A． B． C． D．，， 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：、， ， ， 此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 、，， ， 此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 、设，则，， ， ，解得， ， 此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； 、， 此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：． 2.（2023秋•沂源县期末）如图．在中，，，点为的中点，，垂足为点，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】首先连接，由中，，，为中点，利用等腰三角形的三线合一的性质，即可证得：，然后利用勾股定理，即可求得的长，然后利用面积法来求的长． 【解答】解：连接， 中，，，为中点， ，， ， 又， ， ， 故选：． 3.（2023秋•化州市期末）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解． 【解答】解：将此长方形折叠，使点与点重合，． ． ， 根据勾股定理可知． 解得． 的面积为． 故选：． 名师点拨 1. 勾股定理是直角三角形特有的三边关系，可以用来求直角三角形的直角边或斜边长. 2. 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法，用边的关系来证明三角形是直角三角形. ♫ 考向2 直角三角形中的分类讨论 对点演练 1.（2023•新兴县一模）若直角三角形两边分别是3和4，则第三边是　　． 【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【解答】解：设第三边为， （1）若4是直角边，则第三边是斜边，由勾股定理得： ， ； （2）若4是斜边，则第三边为直角边，由勾股定理得： ， ； 第三边的长为5或． 故答案为：5或． 2.（2023秋•白银区期末）若直角三角形的三边长分别为6，8，，则的值是 　　． 【答案】10或． 【分析】无法确定5与的大小，就需要讨论（1），则边长为的边为斜边，根据勾股定理解的值即可；（2），则边长为8的边是斜边，根据勾股定理解的值即可． 【解答】解：设第三边为， （1）若6，8是直角边，则第三边是斜边，由勾股定理，得： ，，所以， （2）若8是斜边，则第三边为直角边，由勾