导数单元练习-2023-2024学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

2023-2024学年上海市七宝中学高二年级下学期 导数单元练习卷 2024.3 一、填空题 (本大题共有12小题,满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,1-6题每个空格填对得4分,7-12题每个空格填对得5分,否则一律得0分. 1.已知函数,则_. 2.设,则曲线在点处的切线的倾斜角是_. 3.已知函数,过原点作曲线的切线,则切线的斜率为_. 4.已知函数有2个极值点,则_. 5.如图,已知函数图象关于直线对称,直线是曲线在点处的切线,则_. 6.一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上,在杯中放入一个半径为的球状物体后,水面高度为,如图所示.已知该水杯的底面圆半径为,若从时刻开始,该球状物体的半径以的速度变长(在该球状物体膨胀的过程中,该球状物体不吸水,且始终处于水面下,杯中的水不会溢出),则在时刻,水面上升的瞬时速度为 . 7.函数的最小值是_. 8.曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标.定义:若是的导函数,是的导函数,则曲线在点,处的曲率.已知,则曲线在点处的曲率为_. 9.曲线上一点到直线的最短距离为_. 10.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一,定理内容为:如果函数在区间上的图像连续不间断,在开区间内的导数为,那么在区间内至少存在一点,使得成立,其中叫作在上“拉格朗日中值点”.根据这个定理,可得函数在上的拉格朗日中值点的个数为_. 11.恰有一个实数使得成立,则实数的取值范围为_. 12.设实数,若对于任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是_. 二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑. 13.某跳水运动员在距离地面高的跳台上练习跳水,其重心相对于水面的高度(单位:与起跳后的时间(单位:的函数关系是,则该运动员在时的瞬时速度(单位:为 A. B.2.9 C.0.45 D. 14.已知函数在定义域内可导,的图像如下,则其导函数的图像可能为( ) A. B. C. D. 15.已知,则( ) A.0 B. C. D. 16.已知是函数的极大值点,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程; (2)求过点并与曲线相切的直线方程 18.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 求下列函数的导函数 (1) (2) 19.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 设曲线在点处取得极值. (1)写出函数的定义域,并求的值; (2)求函数的单调区间和极值 20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 已知函数,. (1)讨论函数的单调性; (2)设,,且是的极值点,证明: 时,取得极小值; . 21.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 设,,函数,. (1)若与有公共点,且在点处切线相同,求该切线方程; (2)若函数有极值但无零点,求实数的取值范围; (3)当,时,求在区间的最小值. 第1页(共5页) 学科网(北京)股份有限公司 $$ 2023-2024学年上海市七宝中学高二年级下学期 导数单元练习卷 2024.3 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.已知函数，则______. 【答案】2 【解析】 2.设，则曲线在点处的切线的倾斜角是______. 【答案】 【解析】由， 得， 即， （2），可得． 曲线在点处的切线的倾斜角是 3.已知函数，过原点作曲线的切线，则切线的斜率为______. 【答案】 【解析】由题意得，函数， 其，设切点为，， 则切线方程为， 因为切线过原点， 所以， 解得，所以． 4.已知函数有2个极值点，则______. 【答案】0 【解析】，解得 的极值点为和，且为的极值点 则不妨令 5.如图，已知函数图象关于直线对称，直线是曲线在点处的切线，则______. 【答案】 【解析】直线过点，， 则直线的斜率， 故， 函数图象关于直线对称， 则 6.一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯中放入一个半径为的球状物体后，水面高度为，如图所示．已知该水杯的底面圆半径为，若从时刻开始，该球状物体的半径以的速度变长（在该球状物体膨胀的过程中，该球状物体不吸水，且始终处于水面下，杯中的水不会溢出），则在时刻，水面上升的瞬时速度为 　　． 【答案】4 【解析】杯中水的体积为．