7.4 二项分布与超几何分布- 2023-2024学年高二数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019选择性必修第三册）

二项分布与超几何分布 1 二项分布 ① 重伯努利试验 （1）我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验,比如产品的合格或不合格,医学检验结果的阳性或阴性； （2）将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验, （3）重伯努利试验具有如下共同特征 第一：同一个伯努利试验重复做次； 第二：各次试验的结果相互独立； ② 二项分布 (1) 概念 一般地,在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为用表示事件发生的次数,则 此时称随机变量服从二项分布,记作 并称为成功概率. 随机变量的分布列如下 (其中) 由二项定理,可得 这也许是这分布为什么叫做二项式定理的原因吧！ ② 二项分布的期望与方差 一般地,如果那么. 下面对期望进行证明 证明 令由可得 令则 2 超几何分布 ① 概念 一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品,从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为： 其中. 如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从超几何分布. ② 超几何分布的期望 设随机变量服从超几何分布,则. 证明 令有 因为 所以 注：超几何分布的模型是不放回抽样 ④ 二项分布与超几何分布的关联 (1) 已知个产品中有个次品,分别采取放回和不放回的方式随机抽取的4件产品,次品数为求随机变量的分布列, 若采取放回的方式,则每次抽到次品的概率为且各次抽样的结果相互独立,则服从二项分布,即； 若采取不放回的方式,虽然每次抽到次品的概率为但每次抽取不是同一个试验,各次抽取的结果也不独立,不符合重伯努利试验的特征,因此不服从二项分布,服从超几何分布. (2) 二项分布和超几何分布都是可以描述随机抽取的件产品中次品数的分布规律,并且两者的均值相同,对于不放回抽样,当远远小于时,每抽取一次后,对的影响很小,此时超几何分布可以用二项分布近似. 【题型1】二项分布与超几何分布的概念 【典题1】 （多选）袋中有10 个大小相同的球，其中6 个黑球，4 个白球，现从中任取 4 个球，取出一个黑球记 2 分，取出一个白球记 1 分，则下列结论中正确的是( ) A. 取出的白球个数服从二项分布 B. 取出的黑球个数服从超几何分布 C. 取出 2 个白球的概率为 D. 取出球总得分最大的概率为 【典题2】经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取 5 件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是( ) A. 的可能取值为 B. C. 的概率最大 D. 服从超几何分布 【巩固练习】 1.(★)下面随机变量的分布列不属于二项分布的是( ) A. 据中央电视台新闻联播报道，一周内在某网站下载一次数据，电脑被感染某种病毒的概率是0.65 ，设在这一周内，某电脑从该网站下载数据 次中被感染这种病毒的次数为 B. 某射手射击击中目标的概率为，设每次射击是相互独立的，从开始射击到击中目标所需要的射击次数为 C. 某射手射击击中目标的概率为，设每次射击是相互独立的，射击 次命中目标的次数为 D. 位于某汽车站附近有一个加油站，汽车每次出站后到这个加油站加油的概率为0.6，国庆节这一天有50 辆汽车开出该站，假设一天里汽车去该加油站加油是相互独立的，去该加油站加油的汽车数为 2.(★)下列随机变量 中，服从超几何分布的个数为 ( ) (1)在一副不含大、小王的扑克牌中任取 4 张，表示抽到 的张数； (2)在某次知识竞赛活动中，选手需要从一组编号为的题号中任选 4 题，若至少答对其中3 题，则进入决赛. 已知一选手能答对该组题中的 7 题，表示该选手进入决赛时错答的题数； (3)在有5 个交通灯的道路上行驶，表示遇到红灯的次数； (4)某超市进行年终促销活动，凡消费满 500 元可参加三次转盘抽奖，表示顾客消费 500 元后的获奖次数 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.(★★)某人参加一次测试，在备选的道题中，他能答对其中的道，现从备选的题中随机抽出题进行测试，规定至少答对题才算合格．则下列选项正确的是(　　) A．答对题和答对题的概率相同，都为 B．答对题的概率为 C．答对题的概率为 D．合格的概率为 4.(★★)若，则当时( ) A.