7.5 正态分布- 2023-2024学年高二数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019选择性必修第三册）

正态分布 1 正态分布的概念 若连续型随机变量的概率密度函数为 其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为. 的图象称为正态曲线. 2 正态分布的期望与方差 若，则 3 正态曲线的性质 ① 曲线在轴的上方，与轴不相交； ② 曲线关于直线对称； ③ 曲线在时达到峰值； ④ 曲线与轴之间的面积为； ⑤ 当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐进线，向它无限靠近； ⑥ 曲线的形状由确定， 越大，峰值越小，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越小，峰值越大，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中． 4若，取值不超过的概率为区域的面积，而为区域的面积. 5 原则 假设，对于给到的,是一个只与有关的定值，特别地， 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 的随机变量只取之间的值，并简称之为 原则. 6 标准正态分布 ① 在标准正态分布表中相应于的值是指总体取值小于的概率， 即 时，则的值可在标准正态分布表中查到； 时，可利用其图象的对称性获得来求出， ② 与的关系： 若 ，则，有； 若，则. 【题型1】 正态分布的概念与性质 【典题1】 对两地国企员工的上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中地员工的上班迟到时间为 (单位: )，，对应的曲线为地员工的上班迟到时间为(单位: )， )，对应的曲线为，则下列图象正确的是 ( ) A. B.C. D. 【典题2】(多选)小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了 10 次坐公交车和骑自行车所花的时间，10 次坐公交车所花的时间分别为 (单位: )，10 次骑自行车所花时间的均值为，方差为1 . 已知坐公交车所花时间 骑自行车所花时间 都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计分布中的参数，并利用信息技术工具画出的分布密度曲线如图所示. 若小明每天需在早上 8 点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是 ( ) A. 坐公交车所花时间的均值为10 ，方差为3 B. 若小明早上 7:50 之后出发，并选择坐公交车，则有50% 以上的可能性会迟到 C. 若小明早上 出发，则应选择骑自行车 D. 若小明早上 出发，则应选择坐公交车 【巩固练习】 1.(★)设两个正态分布的密度曲线如图所示，则有( ) A. B. C. D. 2.(★★) 若随机变量，则下列说法错误的是 ( ) A. 的密度曲线与轴只有一个交点 B. 的密度曲线关于对称 C. D. 若，则 3.(★★)阿金上学有时坐公交车，有时骑自行车. 若阿金坐公交车用时 和骑自行车用时 都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是 ( ) A. 的数据较更集中 B. 若有 可用，那么坐公交车不迟到的概率大 C. 若有 可用，那么骑自行车不迟到的概率大 D. 4.(★★)(多选)尊重自然、顺应自然、保护环境，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求，近年来，各地区以一系列卓有成效的有力措施逐步改善生态环境，我国生态文明建设发生了历史性、全局性的变化. 一地区的科研部门调查某绿色植被培育的株高 (单位: )的情况，得出 ，则下列说法正确的是( ) A. 该地植被株高的均值为100 B. 该地植被株高的方差为10 C. 若，则 D. 随机测量一株植被，其株高在 以上的概率与株高在 以下的概率一样 5.(★★★)(多选)已知随机变量服从正态分布，定义函数 取值不小于的概率，即，则 A. B. C. 为减函数 D. 为偶函数 【题型2】 正态分布的计算问题 【典题1】若随机变量，若，则 . 【典题2】新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青崃. 某新能源汽车制造企业为调查其旗下 型号新能源汽车的耗电量(单位: ) 情况，随机调查得到了 1200个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则样本中耗电量不小于的汽车大约有( ) A. 180 辆 B. 360 辆 C. 600 辆 D. 840 辆 【巩固练习】 1.(★) 设随机变量服从正态分布，若，则的值为 A. 9 B. 7 C. 5 D. 4 2.(★) 每袋食盐的标准质量为500 克，现采用自动流水线包