理科数学-学科网2024届高三1月大联考（全国乙卷）

绝密★启用前 2024届高三1月大联考（全国乙卷） 理科数学 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数满足，则复数的共轭复数 A． B． C． D． 3．若平面向量满足，则向量夹角的余弦值为 A． B． C． D． 4．已知等比数列满足，其前项积为，则 A． B． C． D． 5．已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 6．已知底面半径为2的圆锥的侧面积为，则该圆锥的外接球的表面积为 A． B． C． D． 7．2023年9月20日至24日，世界制造业大会在合肥市滨湖国际会展中心隆重举办，本次大会以“智造世界·创造美好”为主题，设置了8万平方米展览区．9月21日上午，甲、乙、丙、丁四人相约随机参观P，Q，R三个展区，每个展区至少有1人，每人只参观一个展区．设事件表示“甲与乙不到同一展区”，则 A． B． C． D． 8．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点，是抛物线上两个不同的点，且，则 A． B． C． D．3 9．已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 10．如图，在正方体中，分别为棱的中点，过三点作该正方体的截面，则 A．该截面是四边形 B．平面 C．平面∥平面 D．该截面与棱的交点是棱的一个三等分点 11．已知双曲线，O为坐标原点，若直线与双曲线C的两条渐近线分别交于点，则内切圆的半径等于 A． B． C． D． 12．已知函数是定义在上的函数，，函数的图象关于点对称，且对任意的，，均有，则下列关于函数的说法中，正确的个数是 ①；②；③函数在上单调递增； ④不等式的解集为． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．的展开式中，不含字母的项为___________． 14．已知实数满足，则的最大值为___________． 15．1557年，英国数学家列科尔德首先使用符号“”表示相等关系，在莱布尼茨和其他数学家的共同努力下，这一符号才逐渐被世人所公认．1631年，英国数学家哈里奥特开始采用 符号“”与“”，分别表示“大于”与“小于”，这就是我们使用的不等号．以上内容是某校数学课外兴趣小组在研究数学符号发展史时查阅到的资料，并组织小组成员研究了如下函数与不等式的综合问题：已知函数，，若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是___________． 16．在中，内角所对的边分别为，若，，则的最大值为___________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．(12分)已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18．（12分）2024年“元旦档”，某连锁购物中心在2023年12月31日隆重开业，该购物中心随机调查统计了连续8天的客流量（单位：百人），如下表： （1）由表中数据，知可用线性回归模型拟合与之间的关系，请用相关系数加以说明；（结果精确到0.01） （2）求关于的线性回归方程（系数精确到0.01，并用精确后的的值计算的值），并预测1月9日的客流量．（预测结果精确到0.1） 参考公式：相关系数，线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 参考数据：，，，，，． 19．（12分）如图（1），在平面五边形中，，，，，将沿折起得到四棱锥，如图（2），满足，且． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的面积为且有一个内角为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若以线段为直径的圆与椭圆无公共点，过点的直线与椭圆交于，两点（点在点的上方），线段上存在点，使得，求的最小值． 21．（12分）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，若函数有唯一零点，函数（其中为自然对数的底数）在上有零点，试比较与的大小，并说明理由． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一 题计分。 22．[选修4-4：坐标系与参数方程