利用函数解决不等式问题 习题课课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

利用函数解决不等式问题 判断函数f(x)=e与函数g(x)=x2+1在[0，+o∞上的大小关系 判断函数f(x)=e与函数g(x)=x2+1在[0，+o)上的大小关系 令函数7h(x)=e-x2-1, W(x)=e-2x,令函数F(x)=e-2x, 令函令函数h)=e h() e'c-1) x2+1 因为x∈[0，+∞)，所以(x)≥0， 得F'(x)=e-2,令F'(x)=e-2=0, 因为 以aco=F 在[0，+0)上单调递增， 得x=ln2 F'(x)与F(x)关系如下表 所以于是(x)≥hO)=1, 皇， r [0,ln2) In2 (n2,+o) 于是故e≥x2+l(x≥0)，x=0时等号成立. F'(x) 0 + F(x) 单调递减 极小值 单调递增 故e令函数h(=+ h)=x-3 所以F(x)≥Fn2)=2-2ln2>0, 因为xe[0,+o),所以(x)≤0， 故h(x)>0,(x)=e-x2-1在[0，+oo) 所以)=+1在0，+切上单调递减， e 上单调递增，所以(x)≥1(0)=0， 于是h(x)≤h(0)=1, 故e≥x2+1(x≥0)，x=0时等号成立. 故e≥x2+1(x≥0)，x=0时等号成立. 判断函数f)=C-2与函数g)=xnx在(0，+上的大小关系 X 11 判断函数∫)=-2与函数g=xnx在(0，+四上的大小关系 移项作差法构造函数？ 证明：令fm=g-2-xn>0) X 则f=ere-mx+De x _e"(x-l)-x(lnx+1) x2 g(x)=e*(x-1)-x2(Inx+1)(x>0) 则g'(x)=x(e-2nx-3) 令h(x)=e-2lnx-3 则ny=e-2,e 判断函数f9=g2与函数g)=xnx在(0，+上的大小关系 X 令)=c-2nxr3,则h)=e-2 因为田在0，+9上递增，且宁-6-4<0，h0=e-2>0 存在6∈兮，使得M)=0,即c心=2 04 x (0,xo) Xo (xo,+9 02 h'(x) 0 + 020 0.204 0.60.8 14 h(x) 单减 极小值 单增 -02 -04 hm)≥hx)=e-2nx,-3=2+2x,-2n2-3>1-2n2=n号<0 Xo 4 hd=e-1>0,e)=e-5>0 判断函数f9=g-2与函数g)=xnx在(0，+9上的大小关系 移项作差法构造函数 乘以x作差构造函数 证明：令f=g-2-xnx(r>0) 证明：令f(x)=e*-2x-x2nx(x>0) X 则f'(x)=e-2-2xlnx-x 则fw=er-e-mx+l》 g(x)=e*-2-2xInx-x(x>0) x2 则g'(x)=e-2nx-3 e(x-1)-x2lnx+1) 令h(x)=t-2lnx-3(x>0) x2 g(x)=e*(x-1)-x2(Inx+1)(x>0) 则的=e-2在(0，+∞)上单调递增 则g'(x)=x(e-2nx-3) 令h(x)=e-2lnx-3 因为（分=Ve-4<0,h④=e-2>0 则h=e_2,e 所以存在∈()，使得h,)=0, 判断函数∫3=g-2与函数g)=x1nx在(0，+四上的大小关系 变形作差法构造函数 证明：令)=S2-nx>0) 令f(x)=0,得x=2 f(x)与f'(x)关系如下表 则f)-E-9x2x>0) (02) 2 (2,+o x f"(x) 0 + 令g(x)=e-x(x>0) f(x) 单减 极小值 单增 则g'(x)=e-1>0, f)≥f2)s=4-4n2 e2-7 20 所以g(x)在(0，+9上单调递增， 4 4 故g(x)>g(0)=1>0 故g-2>xnx. X 判断函数f9=g-2与函数g0=xnx在(0，+9上的大小关系 X 移项作商法构造函数 证明：令f-2+n(≥0)，则) (xlhx+1)(2-x) er 2 令g(x)=xnx+l(x>0),则g'(x)=nx+1, 令f(x)=0,得x=2 令g()=0,得x=,g闲)与g()关系如下表 f(x)与f'(x)关系如下表 (0,2) 2 (2,+o© 0, e 1-e f'(x) + 0 e f(x) 单调 41+ln2) 单调 8'x) - 0 + 05 递增 e 递减 g(x) 单调 1- 单调 f(x)≤f(2)= 41+ln2)8 <1, 递减 递增 e2 e 0 0.5 1.5 gx)≥g6=1-1>0,。 故2>xn. e e X0.5 判断大小 e≥x2+1(x≥0) 知识要素 导数公式及运算法则，函数的单调性与导函数的正负关系，函数的极值、最值 思路方法 不等式问题转化函数最值问题，转化变形构造函数 h(x)=ex-x2-1 ex h(x)= x2+1 h(x)= h'